Mathematicians : 12 : Tradition of Mathematics in Kerala

દુનિયાના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિશેની લેખમાળાનો આ છેલ્લો મણકો છે. લેખમાળાની શરુઆત આપણે ન્યૂટનથી કરી હતી, આજે સમાપન કરતી વખતે ન્યૂટનના સ્થાનને પડકારતી હકીકતો રાખવી છે અને એ પડકાર ભારતનો છે. તે સાથે એ પડકાર ભારતીયો માટે પણ છે, જેમને કદી ઇતિહાસમાં રસ ન રહ્યો, એટલું જ નહીં આપણા પૂર્વજોએ કરેલા આ દુનિયાના ચિંતનને આપણે કદી મહત્વ ન આપ્યું, માત્ર પરલોકની વાતોમાં જ રાચતા રહ્યા.

imageimageimage

અહીં જ્યેષ્ઠદેવ (ઈ. સ. ૧૫૧૦-૧૬૦૦)ના પુસ્તકના મુખ્ય પૃષ્ઠ અને પહેલા પૃષ્ઠના ફોટા આપ્યા છે.

આજે કોઈ ગણિતના ક્ષેત્રમાં ભારતના ફાળાની વાત કરે તો આપણે પોતે જ ખાસ કશું જાણતા નથી એટલે બે-ચાર નામ લેવાથી વધુ આગળ વધી શકીએ તેમ નથી – આર્યભટ્ટ, બ્રહ્મગુપ્ત, ભાસ્કર, વરાહમિહિર….હજી કોઈ નામ યાદ આવે છેclip_image006? ૨૦૦૭માં મૅન્ચેસ્ટર યુનિવર્સિટીના ડૉ. જ્યૉર્જ ગેવરગીસે સાબીત કર્યું કે કેરળમાં ગણિતનો વ્યવસ્થિત વિકાસ થયો હતો અને ઘણા મૂળભૂત સિદ્ધાંતો ન્યૂટનથી ૨૫૦ વર્ષ પહેલાં શોધી કાઢવામાં આવ્યા હતા. ખાસ કરીને કેલ્ક્યુલસની ‘અનંત શ્રેણી’ શોધવાનો યશ ગણિતજ્ઞ માધવને મળવો જોઈએ. (વિગતવાર અહીં).

પુસ્તકમાંથી માધવ વિશે બહુ જાણવા નથી મળતું. એમની ઘણીખરી ગાણિતિક અને ખગોળીય રચનાઓ આજે ઉપલબ્ધ નથી. મોટા ભાગે ‘સંગમગ્રામના માધવ’ તરીકે એમની ઓળખાણ મળે છે.

જ્યેષ્ઠદેવે આ પુસ્તક મૂળ મલયાલમમાં લખ્યું હતું જેનો પછી સંસ્કૃતમાં અનુવાદ થયો. પુસ્તકમાં ખગોળશાસ્ત્ર, ગ્રહોની ગતિ, છાયાગણિત વગેરે ઘણા વિષયો પર એમનાથી પહેલાં થઈ ગયેલા ગણિતજ્ઞોનાં સૂત્રો છે. આમાં બધા લેખકોના સમય વિશે અનુમાન કરી શકાય એમ નથી પરંતુ માધવ વિશે એવું અનુમાન કરી શકાય કે માધવનો કાળ ૧૩૫૦થી ૧૪૨૫નો હોવો જોઈએ. આ માત્ર અનુમાન છે અને અહીં એમનો ફોટો આપ્યો છે તે પણ માત્ર કલ્પના પર આધારિત છે. (અનંત શ્રેણી એટલે ૧..૨..૩.., એ જ રીતે, ૧..૧/૨…૧/૪…૧/૮…૧/૧૬…)

  માધવે \pi\નું મૂલ્ય શોધવાની રીત શોધી કાઢી. એમણે કહ્યું કે છેદમાં એકી સંખ્યા હોય તેવી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓને સતત બાદ કરતા જાઓclip_image008 કે ઉમેરતા જાઓ તો ‘પાઇ’નું મૂલ્ય મળે. એમણે દશાંશ પછીનાં ૧૩ સ્થાન સુધી મૂલ્ય દેખાડ્યું. અહીં આલેખમાં એમની રીત દેખાડી છે.

૨૦૦ વર્ષ પછી લાઇબ્નીસે પણ આ જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો. આજે દુનિયા લાઇબ્નીસને જાણે છે, માધવને નહીં! માધવે દર ૩૬ મિનિટે ચંદ્રનું સ્થાન અને ગ્રહોની ગતિનું અનુમાન કરવાની રીત પણ સમજાવી છે. (સંદર્ભ)

માધવના સમકાલીન હતા નારાયણ પંડિત (સંદર્ભ). એમનો સમય ૧૩૪૦-૧૪૦૦ હોવાની ધારણા છે. એમણે ‘ગણિત કૌમુદિ’ અને ‘બીજગણિત વાતાંશ’ એમ બે પુસ્તકો લખ્યાં હોવાના ઉલ્લેખ મળે છે. ભાસ્કર-બીજા ૧૨મી સદીમાં થઈ ગયા. તે પછી ગણિતક્ષેત્રે કાં તો શૂન્યાવકાશ છે અથવા કંઈ માહિતી નથી મળતી. પરંતુ નારાયણ પંડિતે ભાસ્કરના ‘લીલાવતી’ પર એમણે ‘કર્મ-પ્રદીપિકા’ અથવા ‘કર્મ-પદ્ધતિ’ નામનો ગ્રંથ લખ્યો. એમનું પોતાનું કાર્ય પણ દેખાડે છે કે ભાસ્કરના ગણિતનો એમના પર બહુ પ્રભાવ હતો. આમ નારાયણ પંડિત પ્રશિષ્ટ વિદ્વાનોના વિસરાઈ જતા જ્ઞાનને ૧૪મી સદી સુધી લઈ આવ્યા.

પરમેશ્વર (સંદર્ભ) પણ માધવ અને નારાયણ પંડિતના સમાકાલીન હતા (૧૩૭૦-૧૪૬૦). એ નારાયણ પંડિતના શિષ્ય હતા. એમણે ભાસ્કર પહેલા, આર્યભટ્ટ પહેલા અને ભાસ્કર બીજાના ગાણિતિક સિદ્ધાંતો પર મિમાંસાઓ લખી છે. એમણે સરેરાશ મૂલ્યના પ્રમેય વિશે વિલક્ષણ પ્રદાન કર્યું છે.

નીલકંઠ સોમયાજી નાંબુદિરી બ્રાહ્મણ હતા અને સોમયજ્ઞ કરનાર બ્રાહ્મણને ‘સોમ-યાજી’ કહેવાય છે. મલયાલમમાં ‘સોમ-યાજી’નું ‘સોમદિરી’ થઈ ગયું છે. એમણે ‘સિદ્ધાંત’ નામનો ગ્રંથ લખ્યો છે તેમાં એમણે પોતાનો જન્મ કલિ-કાળના ૧૬, ૬૦, ૧૮૧મા દિવસે થયો હોવાનું લખ્યું છે. આના પરથી વિદ્વાનો કહે છે કે એમની જન્મ તારીખ ૧૪ જુલાઈ ૧૪૪૪ હતી. એ પૂરાં સો વર્ષના થયા હોવાના ઉલ્લેખ પણ મળે છે. માત્ર ગણિત નહીં એમને ઘણા વિષયોમાં રસ હતો. કાવ્યશાસ્ત્ર (પિંગળશાસ્ત્ર) પર પણ એમનું કામ બહુ પ્રખ્યાત થયું. (સોમયાજી).

એ તો દેખીતું જ છે કે આ વિદ્વાનોના ગુરુઓ પણ હતા અને શિષ્યો પણ હતા. આમ લગભગ ૨૦૦ વર્ષ સુધી ગણિત કેરળમાં જ્ઞાનક્ષેત્રે મહત્ત્વના સ્થાને રહ્યું. આજે ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્ર વિશે ચારસો જેટલા મૂળ મલયાલમમાં લખાયેલા ગ્રંથો મળે છે.

આરબો આઠમી સદીના અંતથી જ ભારત આવતા થઈ ગયા હતા અને ભારતના ગણિત અને ખગોળ, જ્યોતિષને લઈ ગયા. એમના અનુવાદો યુરોપ પહોંચ્યા. એ જ રીતે ૧૫મી સદીથી ખ્રિસ્તી મિશનરીઓ ભારત આવતા થઈ ગયા હતા. જેમ આરબો ભારતનું જ્ઞાન બહાર લઈ ગયા તેમ ખ્રિસ્તી મિશનરીઓ પણ લઈ ગયા. આમાંથી એ ન્યૂટન સુધી પહોંચ્યું હોય એવી શક્યતાનો ઇનકાર થઈ શકે તેમ નથી.

ભારતીય ગણિત જ્યારે પશ્ચિમી વિદ્વાનો સુધી પહોંચ્યું ત્યારે એને બે સમસ્યાઓ નડી. એક તો પૌર્વાત્ય જ્ઞાનને નીચી નજરે જોવાની વૃત્તિ અને બીજું સ્વયં ભારતીય પદ્ધતિ. રામાનુજન વિશેના લેખમાં પણ આપણે જોયું કે રામાનુજને હાર્ડીને સમીકરણો – સૂત્રો – લખી મોકલ્યાં, એ સમીકરણ કેમ બન્યાં તે હજી પણ શોધનો વિષય છે. ભારતીય પદ્ધતિ સૂત્રાત્મક રહી, સાબિતી આપવાનું ભારતીય ગણિતજ્ઞોને જરૂરી નહોતું લાગ્યું. પશ્ચિમની પદ્ધતિમાં સાબિતી આપવાની અને એનાં દરેક ચરણ દેખાડવાનું મહત્ત્વનું છે. આથી, પશ્ચિમી જગત આ સૂત્રોને અર્થહીન માનતું રહ્યું.

કેરળની ગણિત પરંપરા વિશે હજી ઘણી શોધખોળ કરવાની રહે છે. દુઃખની વાત એ છે કે આપણે પોતે પણ કેરળની ગણિત પરંપરા વિશે જાણતા નથી! આર્યભટ્ટ વગેરે આપણા ગણિત જગતના તેજસ્વી તારલાઓ છે પરંતુ જ્ઞાન જગતમાં વ્યક્તિ એક સીમાચિહ્ન છે, બીજી બાજુ, જ્ઞાનનો વિકાસ એક વ્યક્તિની સિદ્ધિઓથી નથી થતો. એ સતત ચાલતી પ્રક્રિયા છે અને કેરળમાં આ પ્રક્રિયા કંઈ નહીં તો ૨૦૦ વર્ષ સુધી – ૧૭મી સદી સુધી – ચાલી. એટલું જ નહીં, આજે પણ એર્નાકુલમ પાસે Kerala School of Mathematics (KSOM) ચાલે છે. અહીં પ્રાચીન ગણિત ગ્રંથોનો સંગ્રહ છે અને ગણિત પર કાર્ય થાય છે.

0-0-0

(I am thankful to Mr. N. Sankara Narayanan and Dr. P. V. Narayanan Nair who helped me get a part of the material for the article. I have also used the material available on internet).

0-0-0

લેખમાળાના અંતમાં

લેખમાળા સમાપ્ત થાય છે ત્યારે મારા મિત્ર અને ભાભા પરમાણુ સંશોધન કેન્દ્ર (BARC)ના ઇંધણ વિભાગના એક એકમના અધ્યક્ષ ડૉ. પરેશ . વૈદ્યનો આભાર તો નહીં માનું પરંતુ એમણે લેખમાળામાં આપેલા ફાળાની વાત પણ વાચકો સુધી પહોંચાડું તો મોટો અનર્થ થશે. લેખમાળાના દરેક લેખમાં ગણિત વિશેનો દરેક ભાગ એમની નજર નીચેથી પસાર થયો છે. કામ મોટું રહ્યું. મારે કારણે એમને બહુ મહેનત કરવી પડી અને બદલામાં ચોકસાઈ માટે એમના માર્ગદર્શન હેઠળ મારે બહુ મહેનત કરવી પડી. કઠિનતમ અવધારણાને સાદામાં સાદી ભાષામાં રજુ કરવાનો સવાલ હતો એટલે બાંધછોડ કરી શકાય તેમ તો હતું નહીં. ખરેખર તો લેખમાળાનો દરેક લેખ સંયુક્ત પ્રયાસના પરિણામે લખાયો છે. આશા છે કે વાચકોને લેખમાળા ઉપયોગી જણાઈ હશેદીપક)


Mathematicians:11: D D Kosambi

કોસાંબી પિતાપુત્ર એટલે બે અનોખા વિદ્વાનોની જોડી. પિતા ધર્માનંદ દામોદર કોસાંબી અને પુત્ર દામોદર ધર્માનંદ કોસાંબી. પિતા, બૌદ્ધ ધર્મના આંતરરાષ્ટ્રીય સ્તરે પંકાયેલા વિદ્વાન, તો પુત્ર એવા કે માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, આંકડાશાસ્ત્રમાં અને સિક્કાઓના ઇતિહાસલેખનમાં આગળપડતું સ્થાન મેળવ્યું. એટલું જ નહીં, ભારતનો સામાજિક ઇતિહાસ લખવામાં એમણે પણ નવી દિશાઓ ખોલી. ઇતિહાસના આલેખન માટે એમણે વ્યક્તિપરક પદ્ધતિને સ્થાને સમાજપરક પદ્ધતિ અપનાવી, જેને આજે માર્ક્સવાદી પદ્ધતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વેદ-ઉપનિષદોમાં પારંગત. સંસ્કૃત અને પાલી પર પ્રભુત્વ, સાત ભાષાઓ જાણે. ગણિતના વિષયમાં એમના ઘણા અભ્યાસપત્રો સીધા જ ફ્રેન્ચ, જર્મન, ઇટાલિયન કે ચીની ભાષામાં લખાયેલા છે અને એના અનુવાદ પણ મળતા નથી! એ જ ડી. ડી. કોસાંબી પૂનામાં ભણતા ત્યારે બાળપણમાં ગણિતમાં નબળા હતા અને શરીરે માયકાંગલા. તે પછી એમણે ગણિત અને શરીર પર ધ્યાન આપ્યું અને બન્નેમાં સશક્ત બન્યા એટલે એ પોતે જ મશ્કરીમાં કહેતા કે “મારી સામે પડવાની કોઈ ગણિતશાસ્ત્રીમાં હિંમત નથી!”.clip_image002

દાદા દામોદર શિણૈ (શિનોય) મૂળ ગોવાના હતા. પૈસેટકે ખાસ સારી સ્થિતિ નહીં પણ પુત્ર ધર્માનંદને ભણવાનું ઘેલું વળગ્યું હતું. પોતાની જ મહેનતથી એમણે બનારસ જઈને સંસ્કૃત અને પાલીનું જ્ઞાન લીધું અને એમાં એવા પારંગત થયા કે એમને બૌદ્ધ ગ્રંથ ‘વિસુદ્દીમગ્ગ’ (વિશુદ્ધિમાર્ગ)ની સંપૂર્ણ સમીક્ષાનો ગ્રંથ સમુચ્ચય તૈયાર કરવા અમેરિકા બોલાવ્યા. પુત્ર દામોદરને આ કારણે કૅમ્બ્રિજમાં ભણવાની તક મળી અને એ ૧૯૧૮માં કૅમ્બ્રિજ ગયા.

૧૯૨૪માં એમને હાર્વર્ડમાં પ્રવેશ મળ્યો પરંતુ પિતાનું મન તો ભારતમાં લાગેલું હતું. સીનિયર કોસાંબી ગુજરાત યુનિવર્સિટીમાં જોડાયા અને સાબરમતી આશ્રમમાં રહ્યા. પુત્ર દામોદર પણ એમની સાથે જ! એટલે બે વર્ષ માટે અભ્યાસ છોડીને અમદાવાદ આવ્યા.પિતા ફરી ૧૯૨૬માં અમેરિકા ગયા ત્યારે એમની સાથે દામોદર પણ ગયા. હાર્વર્ડમાં આગળ અભ્યાસ ચાલુ રાખ્યો. આ દરમિયાન પિતા ધર્માનંદ કોસાંબી પાછા ગાંધીજીની દાંડીકૂચમાં જોડાવા ભારત ચાલ્યા આવ્યા.

આ બાજુ, એમની પ્રતિભા જોઈને હાર્વર્ડમાં શિક્ષકો ઇચ્છતા હતા કે એ માત્ર ગણિતમાં જ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે. પરંતુ યુવાન દામોદરને તો ઘણા વિષયોમાં રસ હતો. એમને ઇતિહાસમાં રસ પડે છે તે જાણીને સૌને આશ્ચર્ય થતું. દામોદરને કોઈ એક વિષયમાં ખૂંપી જવામાં રસ નહોતો. એમણે ગણિત ઉપરાંત ઘણા વિષયો લીધા અને બધામાં ઝળકતી સફળતા મેળવી. મોટા થયા ત્યારે એમનો આ સ્વભાવ ચાલુ રહ્યો. એમને ‘સ્પેશ્યલાઇઝેશન’ સામે વાંધો હતો. એમના પર માર્ક્સવાદનો પ્રભાવ પડ્યો હતો અને એ માનતા કે સ્પેશ્યલાઇઝેશન મૂડીવાદનું વધારે નફો રળવાનું સાધન છે અને એમાં માણસ મર્યાદિત ક્ષેત્રમાં રહીને મશીન બની જાય છે! દામોદર ધર્માનંદ કોસાંબી એમના જીવનકાળમાં અને તે પછી પણ ‘ડીડી કોસાંબી’ કે ‘ડીડી’તરીકે જ જાણીતા થયા એટલે હવે આપણે પણ એમને માત્ર ‘ડીડી’ તરીકે જ ઓળખીશું.

બનારસ હિન્દુ યુનિવર્સિટી અને અલીગઢ મુસ્લિમ યુનિવર્સિટી

અમેરિકામાં ભણતર પૂરું કરીને એ ભારત પાછા આવ્યા. પંડિત મદન મોહન માલવીય બનારસ હિન્દુ યુનિવર્સિટીના વાઇસ ચાન્સેલર હતા અને વિદ્વાન પિતા ધર્માનંદના મિત્ર એટલે એમને તો ડીડીની પ્રતિભાની ખબર હતી જ. અહીં એમને પ્રોફેસરનું પદ મળ્યું. અને એ ગણિત અને જર્મન ભાષા શીખવવા લાગ્યા. એમનો એલિપ્ટિકલ જ્યૉમીટ્રી વિશેનો પહેલો સંશોધન લેખ બનારસમાં જ લખાયો.

પણ બે વર્ષ પછી એમને લાગ્યું કે યુનિવર્સિટીમાં શિક્ષણ માટે સારું વાતાવરણ નહોતું એટલે છોડવા માટે ઊંચાનીચા થવા લાગ્યા.એ જ અરસામાં એમને અલીગઢ મુસ્લિમ યુનિવર્સિટીના ગણિત વિભાગના અધ્યક્ષ આન્દ્રે વેઇલનો પત્ર મળ્યો. એ પણ ‘ડીડી’ને બરાબર ઓળખતા હતા એટલે એમણે અલીગઢ આવી જવા આમંત્રણ આપ્યું. ડીડી ત્યાં ચાલ્યા ગયા. જોવાની વાત એ છે કે પ્રોફેસરનું પદ છોડીને બીજી યુનિવર્સિટીમાં સહાયક પ્રાધ્યાપક તરીકે જોડાયા! એમને સામાજિક મોભા કરતાં કામ અને સંશોધન માટે સારું વાતાવરણ જોઈતું હતું. જો કે, અલીગઢ યુનિવર્સિટીની આંતરિક ખટપટોમાં વેઇલ તો ટકી ન શક્યા અને ડીડીએ એમનું સ્થાન સંભાળ્યું. પરંતુ એમની સામે પણ કાવાદાવા ચાલુ થઈ ગયા અને એ પણ ૧૯૩૩માં અલીગઢને રામરામ કરીને પૂના પાછા આવી ગયા.પરંતુ અલીગઢમાં બે વર્ષ રહ્યા તે દરમિયાન એમણે ‘પાથ જ્યૉમીટ્રી’ અને ‘ડિફરન્શિયલ જ્યૉમીટ્રી’માં આઠ સંશોધનપત્રો લખ્યા. અહીંથી છૂટા થઈને ડીડી ફરી એક પાયરી નીચે ઊતર્યા અને પૂણેની ફર્ગ્યુસન કૉલેજમાં ગણિતના પ્રાધ્યાપક તરીકે જોડાયા. આમ એમને મન કયું પદ છે તે કદી મહત્ત્વનું ન રહ્યું. એમનું મોટા ભાગનું કામ આ અરસાનું છે. અહીં એમણે ઇતિહાસના વિષયમાં સૌ પહેલો મહત્ત્વનો લેખ લખ્યો. ફરગ્યુસન કૉલેજમાં એ ૧૨ વર્ષ કામ કરતા રહ્યા. અહીં એમણે ચાર પાનાનો એક અભ્યાસલેખ લખ્યો જે આજે Kosambi’s Map Function તરીકે માન્ય છે. (Mapping એટલે ગ્રાફમાં બિંદુઓ મૂકવાં અને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ વચ્ચેના માર્ગમાં મૂલ્ય કેટલું બદલાયું તે નક્કી કરવું અને બન્નેનો આંતરસંબંધ દેખાડવો).

૧૯૪૫માં ડૉ. એચ. સી.જે. ભાભાએ એમને ટાટા ઇંસ્ટીટ્યુટ ઑફ ફંડામેન્ટલ રીસર્ચ (TIFR)માં જોડાવાનું આમંત્રણ આપ્યું અને એમણે ત્યાં ત્રણ ચાર વર્ષ કામ કર્યું. અંતે ભાભા સાથે એમને મતભેદ થયા.આગળ જતાં ભાભાએ શાંતિમય હેતુ માટે અણૂશક્તિના વિકાસનાં પહેલવહેલાં પગલાં માંડ્યાં. ભાભા અને જવાહરલાલ નહેરુ અણુના શાંતિમય ઉપયોગના આગ્રહી હતા પણ કોસાંબીનું કહેવું હતું કે અણુના વિકાસના માર્ગે જવામાં યુદ્ધના માર્ગે ચાલતા થઈ જશું અને અણુનો શાંતિમય ઉપયોગ કરવાનું પરવડે નહીં. એમાંથી બનતી વીજળી એટલી મોંઘી પડે કે સરકાર એ ચલાવી ન શકે એટલે સરકાર જનતાને પૈસે એનો વિકાસ કરશે પણ મૂડીપતિઓ એ સંભાળી લેશે અને મોટો નફો કરશે, અંતે જનતાનું શોષણ થશે.

તે પછી એમનું મન વિશ્વશાંતિ તરફ વળી ગયું અને સોવિયેત સંઘની પ્રેરણાથી બનેલી ‘વર્લ્ડ પીસ કાઉંસિલ’માં એમની મહત્ત્વની ભૂમિકા રહી.

૧૯૬૬માં માત્ર ૫૯ વર્ષની વયે એમનું અવસાન થઈ ગયું. ૨૦૦૭માં એમની જન્મશતબ્દી નિમિત્તે ટપાલ ટિકિટ પણ બહાર પાડવામાં આવી હતી.

ઇતિહાસમાં ફાળો

TIFR છોડ્યા પછી ડીડી ઇતિહાસ તરફ વળ્યા. એમનો ભૂતકાળના ચલણી સિક્કાઓના અભ્યાસ (Numismatics) એમને ઇતિહાસ તરફ લઈ ગયો. સ્ટેટિસ્ટિક્સ એમનો વિષય. એમણે સિક્કાઓના ઇતિહાસને ક્રમબદ્ધ કરવામાં સ્ટેટીસ્ટિક્સનો ઉપયોગ કર્યો. એમના પહેલાં કોઈએ આ પ્રયાસ નહોતો કર્યો. પરંતુ એમને માત્ર્ર સિક્કાઓના વર્ગીકરણથી સંતોષ ન થયો એટલે એ સિક્કાઓ જ્યારે ચલણમાં હતા ત્યારે સામાજિક સ્થિતિ શી હતી તે જાણવા એમણે પ્રાચીન શાસ્ત્રોનો ગહન અભ્યાસ શરૂ કર્યો.

વેદઉપનિષદ અને ભર્તૃહરિ શતક

એમણે વેદોનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો અને ઉપનિષદો કેમ વિકસ્યાં તે દેખાડ્યું, એટલું જ નહીં ભર્તૃહરિનાં ત્રણેય શતકોનું સંકલન કરીને મીમાંસા લખી.

આમાંથી એમણે નવી ઇતિહાસ દૃષ્ટિ આપી. એમણે કહ્યું કે ઇતિહાસ ઘટનાઓનો સંપુટ નથી એટલે કોણ રાજા હતો, કોણ જીત્યો, કોણ હાર્યો તે મહત્ત્વનું નથી, પણ એ વખતે સામાજિક સ્થિતિ શી રહી તે મહત્ત્વનું છે. એમના મતે ઇતિહાસ સામાન્ય જનતાનો હોય છે, એટલે એમના વિશ્લેષણમાં વ્યક્તિગત રાજા-મહારાજાઓ અને વીરો-વિભૂતિઓનું સ્થાન ગૌણ રહ્યું.

પાથ જ્યોમીટ્રી

ગણિત શાસ્ત્રમાં આ એક આધુનિક વિષય છે. પાથ એટલે માર્ગ. માર્ગની શરૂઆત એક બિંદુથી થાય અને બીજા કોઈ બિંદુએ માર્ગનો અંત આવે. કોઈ માર્ગ તમને મૂળ બિંદુએ પાછા પહોંચાડે, તો કોઈ માર્ગમાં તમે છેડે અટકી જાઓ. આ ચિત્ર જૂઓઃ Path Geometry

પરંતુ માર્ગના માત્ર આ બે જ આકાર નથી. કોઈ પણ બે બિંદુ વચ્ચે તમે કઈ રીતે જાઓ છો તે એનો માર્ગ બને. એ સીધી રેખા હોય, વાંકી ચૂંકી રેખા હોય, અંડાકાર હોય, વર્તુંળ હોય, કે કમાન પણ હોય. વળી એક જણ જે માર્ગ લે તે જ માર્ગ બીજો ન લે. ધારો કે તમે રેલવે સ્ટેશન પર હો ત્યારે ટ્રેન તરફ જવા માટે આગળ બધો ત્યારે સીડીઓ પણ ચડવી પડે અને ભૂલથી કોઈ બીજા પ્લેટફૉર્મ પર પહોંચી જાઓ તો ત્યાંથી પાછા વળો. તમે સીધી લાઇનમાં ચાલતા હો ત્યાં કોઈ કૂલી સામેથી સામાન ભરેલી લારી લઈને આવે, તમારે હટી જવું પડે, પણ જ્યાં હટો ત્યાં માણસો સૂતાં હોય! એટલે તમે એમનીયે પાછળ ચાલ્યા જાઓ છો અને આગળ વધો છો. આમ કૂલી તમારા રસ્તામાં આવે છે, એ બિંદુ પર એના અને તમારા માર્ગનાં બે બિંદુ મળ્યાં. લોકો સૂતાં હોવાથી તમે પોતે દૂર ગયા અને પાછા મૂળ બિંદુ પર આવ્યા. આમ માર્ગ અનેક હોય અને એક જ ક્ષેત્રમાં હોય. તમારા માર્ગની કલ્પના કરી જૂઓ. એ જ રીતે તમને વળાવવા આવ્યા હોય તે પાછા સ્ટેશનના મુખ્ય ગેટ પર આવે. એટલે એમનો માર્ગ એ ગેટથી શરૂ થયો હતો અને ત્યાં પૂરો થયો. તમારો માર્ગ વાંકીચૂંકી રેખા જેવો રહ્યો પણ એજ બિંદુ પર તમે પાછા ન આવ્યા. આવા સેંકડો લોકોને ચાલતા કલ્પીએ અને એમના માર્ગની આકૃતિ બનાવીએ તો એ કેવી બને? આ છે, પાથ જ્યૉમીટ્રીની સાદી સમજ.

આજે એનો ઉપયોગ કમ્પ્યુટરમાં બહુ થાય છે. ખાતરી કરવી હોય તો, ગૂગલ સર્ચમાં ‘Path Geometry ટાઇપ કરો, જે સાઇટો મળશે તેમાં ઘણીખરી માઇક્રોસોફ્ટની સાઇટો હશે!

જેનેટિક્સમાં ઉપયોગ

આ જાણે પૂરતું ન હોય તેમ એમણે જેનેટિક્સમાં પણ પાથ જ્યૉમીટ્રીનો ઉપયોગ કર્યો. જેનેટિક્સમાં એક રંગસૂત્ર (ક્રોમોઝોમ)ની અંદરના બે જીન વચ્ચે કેટલું અંતર છે તે માપવામાં આવે છે એટલે કે mapping કરાય છે. પરંતુ સંભોગ વખતે સ્ત્રી અને પુરુષના જીન મળે છે. આને રીકૉમ્બીનેશન કહે છે. આખા જિનોમ (જીનનો નક્શો) પર આની અસર પડે છે. આની વિગતોમાં નહીં જઈએ પણ આ ગણતરી કરવા માટે હાલ્ડેનની ફૉર્મ્યુલા ઉપયોગમાં લેવાતી. પરંતુ હાલ્ડેને એક જ ‘ક્રૉસ-ઑવર’ (જીનનું બીજા જીન સાથે ભળવું) ધ્યાનમાં લીધું હતું; કોસાંબીએ એક કરતાં વધારે ક્રૉસ-ઓવર ગણતરીમાં લીધાં અને નવી ફૉર્મ્યુલા બનાવી. જે હાલ્ડેનની ફૉર્મ્યુલા કરતાં વધારે ચોક્સાઈવાળી છે. આજે જિનોમ બનાવનારા એનો વ્યાપક ઉપયોગ કરે છે. જોવાની વાત એ છે કે કોસાંબી જેનેટિક્સ ક્ષેત્રના નહોતા, માત્ર ગણિતજ્ઞ હતા!

જ્યાં દુનિયાએ કોસાંબીને યશ નથી આપ્યો

૧૯૪૩માં કોસાંબીએStatistics in Function Spaceશીર્ષક હેઠળ એક પેપર લખ્યું, જે ઇંડિયન મૅથેમેટિકલ સોસાઇટીના જર્નલમાં છપાયું. એમાં એમણે ‘proper Orthogonal Decomposition’ રજૂ કર્યું. ઑર્થોગોન એટલે સાદી ભાષામાં કહીએ તો કાટખૂણો. આને વિસ્તારથી સમજવાનો પ્રયાસ કરશું તો બહુ પાછળ જવું પડશે. પરંતુ એમનું નામ એની સાથે જોડાયું નથી. એમના પછી બે ગણિતજ્ઞો કાર્હુનેન અને લૂવનાં બે પેપર આવ્યાં. એટલે આ ફૉર્મ્યુલાને ‘કાર્હુનેન-લૂવ’ ફૉર્મ્યુલા કહે છે. જો કે અમુક વિદ્વાનોએ એમની સાથે કોસાંબીનું નામ પણ જોડવા પ્રયાસ કર્યો છે, પરંતુ કોસાંબીનું નામ સ્થાયી નથી થયું. આ ફૉર્મ્યુલા જીવનમાં ઉપયોગી એવાં બધાં ક્ષેત્રો, કૅમિકલ એન્જીનિયરિંગ, ઇમેજ પ્રોસેસિંગ, સમુદ્ર વિજ્ઞાન વગેરે અનેક ક્ષેત્રોમાં વપરાય છે.

આશા રાખીએ કે ભવિષ્ય ડી. ડી. કોસાંબી સાથે ન્યાય કરશે.

૦-૦-૦

Mathematicians :10: Shrinivas Ramanujam

ઓગણીસમી સદીના લગભગ અંત વેળાએ અને વીસમી સદીનો સૂર્ય હજી આભમાં ઊંચે આવે તે પહેલાં વિદાય થઈ ગયેલા મહાન ગણિતશાસ્ત્રી ​શ્રીનિવાસ રામાનુજન​ના નામથી આજે ભારતમાં પરિચિત ન હોય એવું કોણ હશે? દુનિયાના ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ નામ આદરથી લે છે અને એમના કામનો હજી પણ અભ્યાસ ચાલે છે. શ્રીનિવાસ રામાનુજન ​ભારત માટે એક ગૌરવશાળી નામ છે. ​એમના વિશે આપણે એટલું બધું જાણીએ છીએ કે કંઈ નવું લખવાનું નથી. તેમ છતાં એટલું ઓછું જાણીએ છીએ કે લખવા બેસો તો એક પુસ્તક બને કારણ કે એમનું કામ નથી જાણતા. જેમ આજ સુધીના બધા લેખોમાં થયું છે તેમ રામાનુજન માટે એક લેખ પૂરતો નથી. એમનું નામ ‘નંબર થિઅરી’ માટે પ્રખ્યાત થયું છે. ગણિત અથવા ખાસ કરીને નંબર થિઅરીમાં કલ્પનાને ઘણો અવકાશ છે. એ સામાન્ય ગણિત નથી કે જેમાં 1+2+3+4……નો સરવાળો સીધો જ કોઈ રૅશનલ સંખ્યામાં આવે.(4 સુધી જ અટકો તો જવાબ 10 મળે પણ સંખ્યા તો અનંત સુધી જઈ શકે છે). ગણિત અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ જે દેખીતું છે ત્યાં અટક્યા હોત તો ગણિતનો – અને આજના વિજ્ઞાનનો પણ – વિકાસ ન થયો હોત. આ સરવાળાનો રામાનુજન શું જવાબ આપે છે? ​એમનો જવાબ છેઃ 1+2+3+4 clip_image002…..= -1/12…! આવો જવાબ આપનારો કાં તો ઘનચક્કર હોય, કાં તો કોઈ બીજી જ, આપણાથી જુદા પ્રકારની દુનિયાનો માણસ હોય. ખરું જોતાં, આ સમીકરણ આ જ દુનિયાનું છે કેમ કે, આપણને આજે જે સ્વાભાવિક લાગે છે તે 1+2+3+4 = 10 પણ કોઈ સામાન્ય વાત નથી. એ પણ બહુ લાંબી ગાણિતિક પ્રક્રિયા પછી સમજાયેલું સત્ય છે.

રામાનુજનનો બાલ્યકાળ

૧૮૮૭ની ૨૨મી ડિસેમ્બરે રામાનુજનનો જન્મ તમિળનાડુના ઇરોડમાં એમની નાનીને ઘરે થયો. પિતા કુંભકોણમમાં સામાન્ય એકાઉંટન્ટ હતા અને સાથે કપડાંનો વેપાર પણ કરે. માતા પણ મંદિરમાં ભજનો ગાય અને મહિનામાં થોડુંઘણું કમાઈ લે. બ્રાહ્મણ પરિવારની સ્થિતિ આમ પણ સારી ન હોય. તેમાં રામાનુજનના પિતા ગરીબોમાં​ ​પણ​ ​ગરીબ​ ​હતા.

૧૯૦૩માં ૧૨ વર્ષની ઉંંમરે રામાનુજને એમનાથી મોટા એક છોકરા પાસેથી સિડની લક્સ્ટન લોની (Sidney Luxton ​Loney – ​૧૮૬૦-૧૯૩૯)નું ત્રિકોણમિતિ વિશેનું પુસ્તક વાંચવા લીધું. પુસ્તક હાથમાં આવતાં જ જાણે એ તો એ​ ​પી​ ​ગયા.​ ​તમિળનાડુમાં​ ​લોનીનાં​ ​પુસ્તકો​ ​આજે​ ​પણ​ ​લોકપ્રિય​ ​છે. તે પછી ૧૫ વર્ષની ઉંમરે એમણે કૉલેજની લાઇબ્રેરીમાંથી જ્યૉર્જ શૂબ્રિજ કાર (George Shoobridge ​Carr – ૧૮૩૭ -૧૯૧૪)નું ) પુસ્તક વાંચવા લીધું. આ પુસ્તકમાં લગભગ ૬,૦૦૦ પ્રમેયો છે, પરંતુ એ બરાબર ખુલાસાવાર સમજાવેલાં નથી. રામાનુજન પર આ પુસ્તકનો બહુ પ્રભાવ પડ્યો અને એ પુસ્તક એમની સ્ટાઇલ માટે આદર્શરૂપ બની રહ્યું. રામાનુજન પણ કોઈ પ્રૉબ્લેમનો ઉકેલ શોધતા હોય તો છેવટે એનું પરિણામ લખી દેતા. બહુ ખુલાસો કરીને સમજાવવા જેટલા કાગળો પણ એમની પાસે નહોતા અને સમય પણ નહોતો. એ તો એમ જ માનતા કે આટલું લખવાથી જાણકાર તો સમજી જ જશે.

જીનિયસની કોણી કાળી!

આર્થિક સ્થિતિ સારી ન હોવાથી ઢગલાબંધ કાગળો બગાડવાનું તો એમને પોસાય તેમ નહોતું એટલે સ્લેટ પર બધી ગણતરી કરતા અને પછી એમને મળેલી ફૉર્મ્યુલા નોટબુકમાં લખી લેતા. મદ્રાસમાં એ સ્કૉલરશિપ પર રહેતા અને દિવસમાં એક વાર કે બે દિવસે એક વાર ખાવાનું બનાવીને ચલાવતા. પરંતુ એમની કીર્તિ એ વખતે ફેલાઈ ગઈ હતી. એક વાર એમના મિત્ર એમને મળવા ગયા અને કહ્યું કે હવે તમને બધા જીનિયસ તરીકે ઓળખે છે. રામાનુજને પોતાની કોણી દેખાડીને કહ્યું કે જીનિયસ બનવામાં આ કોણી કાળી થઈ ગઈ છે! જે કંઈ લખું છું તે સ્લેટમાં જ લખું છું અને લખેલું ભુંસાડવા માટે આ કોણી જ કામ આવે છે! આ જવાબ દેખાડે છે કે મિત્રો સાથે એમને ટીખળના સંબંધો હતા, બહુ ગંભીર કે ‘મૂજી માસ્તર’ નહોતા.

એમની બધી ફૉર્મ્યુલાઓની ચકાસણી કરવી પડી છે અને એમનાં બધાં પગથિયાંમાં પૂર્ણ વિકાસ તો બીજાઓએ કર્યો છે અને હજી પણ કરે છે! લોનીના પુસ્તકમાં મુખ્યત્વે ભૂમિતિ અને કેલ્ક્યુલસ વિશે ઘણું છે, પણ સંકુલ ચલ (complex variables) અને એલિપ્ટિકલ ફંક્શન્સ વિશે એમાં કશું જ નહોતું. એટલે કે આ વિષયો શીખવાનું તો ઠીક, પણ રામાનુજન એમના પરિચયમાં જ કદી ન આવ્યા.આમ છતાં આ બન્ને વિષયો – સંકુલ ચલ અને એલિપ્ટિકલ ફંક્શન્સ – માં એમણે કરેલાં સંશોધનોએ ગણિતશાસ્ત્રને​ ​નવા​ ​તબક્કામાં​ ​પહોંચાડી​ ​દીધું​ ​છે. આમ જોઈએ તો રામાનુજને ગણિતમાં કોઈ તાલીમ તો લીધી નહોતી. એટલે જ તો એમણે ઘણા શબ્દો પણ એવી રીતે વાપર્યા છે કે એમના ભાષ્યકારો સમજી શક્યા કે એમનો કહેવાનો હેતુ શો છે. એમણે એની જગ્યાએ નવા અને પ્રચલિત શબ્દો વાપર્યા છે.

આ દરમિયાન એમણે ૧૯૦૩માં મૅટ્રિકની પરીક્ષા આપી અને ગણિતમાં ‘ફર્સ્ટ ક્લાસ’ મેળવ્યો, પણ ગણિતમાં એવા લીન થઈ ગયા હતા કે વાર્ષિક પરીક્ષામાં અંગ્રેજી અને ફિઝિયોલૉજીમાં નાપાસ થતાં વરસ બગડ્યું. ચાર વર્ષ પછી પાચિયપ્પા કૉલેજમાં દાખલ થયા તો પણ હાલત એ જ રહી. ગણિત સિવાય બધામાં નાપાસ!

ઘરની​ ​જવાબદા​રી

૧૯૦૯માં જાનકી​ ​નામની​ ​એમનાથી​ ​દસ​ ​વર્ષ​ ​નાની​ ​કન્યા​ ​સાથે​ ​એમનાં​ ​લગ્ન​ ​થઈ​ ​ગયાં. પરણ્યા પછી એમને ઘરની જવાબદારી જેવું લાગ્યું એટલે ‘ઇંડિયન મૅથેમૅટિકલ સોસાઇટી’​ના સ્થાપક વી. આર. અય્યર​ને મળ્યા. અય્યર એ વખતે ડેપ્યુટી કલેક્ટર હતા. રામાનુજને એમને નોકરી આપવા વિનંતી કરી. અય્યરે એમનાં પ્રમેયો જોયાં અને આશ્ચર્યમાં ગરકાવ થઈ ગયા. એમણે રામાનુજનને એમના જ જૂના શિક્ષક, કુંભકોણમ કૉલેજના ગણિતના અધ્યાપક ​પી. વી. શેષુ રાવ પાસે મોકલ્યા. રાવે એમને બીજા એક શ્રીમંત ગણિતશાસ્ત્રી ​રામચંદ્ર રાવ પાસે મોકલ્યા. રામચંદ્ર રાવ પૈસેટકે સુખી હતા અને મદદ કરી શકે એમ હતા. એ તો એમનાં પ્રમેયો જોઈને બહુ જ પ્રભાવિત થયા. એમને લાગ્યું કે એ રામાનુજન નોકરી ન કરે અને ગણિત ચાલુ રાખે તે સારું થશે. એટલે એ તરત માસિક​ ​સ્કૉલરશિપ​ ​આપવા​ ​સંમત​ ​થઈ​ ​ગયા.

આમ એમને મહિને ૭૫ રૂપિયા મળતા થઈ ગયા, પરંતુ રામાનુજન કોઈનો અહેસાન લેવા તૈયાર નહોતા એટલે નોકરી પણ શોધતા રહ્યા. ૧૯૧૨માં એમને મદ્રાસ પોર્ટ ટ્રસ્ટમાં ક્લાર્ક તરીકે ૨૫ રૂપિયાના પગારે નોકરી મળી. આમાં એમણે ૭૫ રૂપિયાની માસિક મદદ છોડી દીધી! સંયોગવશાત્ પોર્ટ ટ્રસ્ટના ચેરમૅન ​સર ફ્રાન્સિસ સ્પ્રિંગ કુશળ ઇજનેર હતા અને મૅનેજર ​એસ. એન. અય્યર​ પણ ગણિતમાં બહુ આગળ વધ્યા હતા. એમણે બન્નેએ રામાનુજનમાં બહુ રસ લીધો અને એમનાં પ્રમેયો​ ​લંડનમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને​ ​​ ​મોકલવા​ ​આગ્રહ​ ​કર્યો. clip_image004

હાર્ડીને​ ​પત્ર

રામાનુજને પહેલાં તો કૅમ્બ્રિજના ‘​કેઇલી’ લેક્ચરર (ગણિતશાસ્ત્રી કેઇલીના નામથી શરૂ થયેલી ચેર) એચ. એફ. બેકર અને પ્રખ્યાત ઍનાલિસ્ટ ઈ. ડબ્લ્યૂ હૉબ્સન​ને પોતાનાં પ્રમેયો મોકલ્યાં પણ બન્નેએ કશી જ ટિપ્પણી વિના જ​ ​એમને​ ​પાછાં​ ​મોકલી​ ​દીધાં. ૧૯૧૩માં રામાનુજને બેકરના અનુગામી ​જી. એચ. હાર્ડી​ને પ્રમેયો મોકલાવ્યાં. ૧૭ પાનાંનો પત્ર લંડનમાં હાર્ડીને મળ્યો ત્યારે ઉપરટપકે નજર નાખતાં એમને જણાયું કે ઘણી ફૉર્મ્યુલા શોધાઈ ગઈ છે પણ આ હિંદુસ્તાની છોકરાને એની ખબર નથી અને એણે નકામી મહેનત કરી છે, તો અમુક ફૉર્મ્યુલાઓ ખોટી છે. પરંતુ અમુક એવી હતી કે એમને એમાં રસ પડ્યો અને આશ્ચર્ય પણ થયું. આમ છતાં એમણે પોતાના સાથી ​લિટલવૂડ​ને પત્ર દેખાડ્યો. આ મોકલનાર મહા ગાંડો હતો કે મહા જીનિયસ, તે ચકાસી જોવાનું એમને મન થયું. બન્ને ચેસ-રૂમમાં ગયા અને અઢી કલાકે બહાર આવ્યા ત્યારે એમને પ્રતીતિ થઈ ગઈ હતી કે પત્ર મોકલનાર મહા જીનિયસ હતો – અને એમના હાથમાં​ ​જે​ ​કાગળો​ ​હતા,​ ​એમાં​ ​ગણિતની​ ​નવી​ ​દિશાઓની​ ​ચાવી​ ​હતી! આજે​ ​આ​ ​પત્રનું​ ​એક​ ​પાનું​ ​ખોવાઈ​ ​ગયું​ ​છે,​ ​પણ​ ​અહીં​ ​​ ​બે ​પાનાં​ ​​ ​નમૂના​ ​​ ​તરીકે​ ​આપ્યાં​ ​છે.


( પાનાં અહીં http://blog.stephenwolfram.com/2016/04/who-was-ramanujan/પરથી લીધાં છે, જે એમણે Syndics of Cambridge University Libraryની અનુમતિથી ઉપયોગમાં લીધાં છે. અહીં માત્ર જ્ઞાનવર્ધનના ઉદ્દેશથી નમૂના તરીકે મૂક્યાં છે. બ્લૉગના સંચાલક અને લેખક સ્ટીફન વૉલ્ફ્રૅમનો આભાર. રામાનુજનના​ ​હસ્તાક્ષરમાં​ ​૧૧મું​ ​પાનું​ ​છે,​ ​તેમાં​ ​આપણે​ ​શરૂઆતમાં​ ​જે​ ​ફૉર્મ્યુલા​ ​જોઈ​ ​તે​, ​​ ​1+2+3+4….=​ ​-1/12 પણ જોઈ શકશો.).

સ્ટીફન વૉલફ્રૅમ એમની ફૉર્મ્યુલાઓ પર ટિપ્પણી કરતાં લખે છે કે આવી કેટલીક ફૉર્મ્યુલાઓવાહિયાતલાગે; કેટલીક એવી છે કે એમાં અખતરા કર્યા હોય એવું લાગે અને કેટલાંક સમીકરણો એવાં છે કે એમ સવાલ થાય કે શું છે? ક્યાંથી આવ્યાં? સાચાં છે ખરાં? કૉલેજ સ્તરના કૅલ્ક્યુલસમાં આવી અવધારણાઓથી આપણે પરિચિત છીએ, પણ તો કૉલેજ સ્તરના કૅલ્ક્યુલસનાં જટિલ સમીકરણો પણ નથી! ધ્યાનથી જુઓ તો એમાં કશુંક અલૌકિક અને આશ્ચર્યજનક છે, જે ગણિતને નવા સ્તરે લઈ જતું હોય એમ લાગે છે. અને પહેલી નવાઈની વાતજે હાર્ડીએ ૧૯૧૩માં અનુભવી છે કે બધી ફૉર્મ્યુલાઓ મૂળભૂત રીતે સાચી છે. પણ આવું કરનારો માણસ કયા પ્રકારનો હશે? એણે કેમ કર્યું? બધું શું એક બહુ મોટા ચિત્રના​ ​ભાગરૂપ​ ​છે​ ​કે​ ​ગણિતની​ ​છૂટીછવાઈ​ ​હકીકતો?

રામાનુજન​ ​કૅમ્બ્રિજમાં

હાર્ડી એવા અભિભૂત થઈ ગયા હતા કે એમણે રામાનુજનને કૅમ્બ્રિજ આવવા આમંત્રણ આપ્યું એટલું જ નહીં, એના માટે પ્રયત્નો પણ શરૂ કરી દીધા. પરંતુ માતાએ ના પાડી દીધી. સમુદ્ર પાર કરવાથી માણસ વટલાઈ જાય! કદાચ એ જ કારણ ન હોય. બીજું કારણ કદાચ એ હતું કે એમને એ જ વર્ષના મે મહિનાથી મદ્રાસ યુનિવર્સિટી તરફથી ૭૫ રૂપિયાની સ્કૉલરશિપ મળી હતી. આ એમના માટે માન્યતા મળ્યા જેવું હતું અને કદાચ રામાનુજન એ છોડવા નહોતા માગતા. જો કે, મદ્રાસમાં ગણિતના પ્રોફેસર રિચર્ડ લિટલહેલ્સ અને બીજાઓ એમના પર દબાણ કરતા રહ્યા. અંતે માતાએ પણ રજા આપી દીધી.

હવે ઇંગ્લૅંડ જવાની તૈયારીઓ શરૂ થઈ. પાઘડી અને ધોતિયું તો ઇંગ્લૅંડમાં ચાલે નહીં. ચંપલ પણ ન ચાલે. રામાનુજન માટે કોટ-પાટલૂન બન્યાં, પાઘડીની જગ્યાએ હૅટ આવી ગઈ અને સૌથી દુઃખદ વાત એ હતી કે….ચોટલી કપાવવી પડી! અંતે એ ૧૯૧૪માં કૅમ્બ્રિજ પહોંચ્યા.

રામાનુજનનો ફોટો

લેખની શરૂઆતમાં રામાનુજનનો ફોટો આપ્યો છે તે હાર્ડીએ પોતાના પુસ્તક Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work (Cambridge University Press, 1940) માટે પસંદ કર્યો. એ જ આજે પ્રખ્યાત થયો છે. રામાનુજનના ફોટા બહુ નહોતા અને હાર્ડી પુસ્તક માટે સારો ફોટો શોધતા હતા પણ જે ફોટા મળ્યા તે હાર્ડીને પસંદ ન આવ્યા..

imageimage

એકમાં રામાનુજન ગાઉન પહેરીને ઊભા છે. હાર્ડીએ કહ્યું કે આમાં તો એ ridiculous લાગે છે. એ જ અરસાના બીજા ફોટામાં રામાનુજન બેઠા છે. ૧૯૩૭માં મદ્રાસી ગણિતશાસ્ત્રી ચંદ્રશેખર કૅમ્બ્રિજ ગયા ત્યારે હાર્ડીએ એમને સારો ફોટો ભારતથી મોકલવા કહ્યું. ચંદ્રશેખર ભારત આવ્યા અને ખૂબ મહેનત કરીને જાનકી દેવીનું ઘર શોધી લીધું. એ તદ્દન સાદા ઘરમાં રહેતાં હતાં. એમની પાસે કોઈ ફોટો નહોતો. પણ એમણે રામાનુજનનો પાસપોર્ટ આપ્યો. એમાં ૧૭ વર્ષ પછી પણ ફોટો સારો હતો. ચંદ્રશેખર ફરી હાર્ડીને મળ્યા અને ફોટો આપ્યો. ફોટો જોઈને હાર્ડીએ ટિપ્પણી કરી – બીમાર તો લાગે છે પણ સુવાંગ જીનિયસ દેખાય છે.” આજે આપણે હાર્ડીએ પસંદ કરેલા ફોટાથી જ રામાનુજનને ઓળખીએ છીએ.

કામ અને બીમારી

ઇંગ્લૅંડમાં એમને શાકાહારી ભોજનની​ ​બહુ​ ​તકલીફ​ ​પડી​ ​અને​ ​ ​આબોહવા​ ​પણ​ ​ફાવી​ ​નહીં.​ ​તેમ​ ​છતાં,​ ​પહેલાં​ ​ત્રણ​ ​વર્ષ​ ​બહુ​ ​સારાં​ ​વીત્યાં. હાર્ડી લખે છે કે એમણે ત્યાં બહુ કામ કર્યું એ દરરોજ અર્ધો ડઝન નવાં પ્રમેયોહાર્ડીને દેખાડતા! પણ પછી ​એમને​ ​ટીબી​ ​લાગુ​ ​પડી​ ​ગયો​ ​અને​ ​કેટલીયે​ ​વાર​ ​સેનેટોરિયમમાં​ ​રહેવું​ ​પડ્યું. રામાનુજને લંડનના ત્રણ વર્ષના રહેવાસ દરમિયાન ૩૨ પેપર પ્રકાશિત કર્યાં, જેમાંથી ૭ હાર્ડીની સાથે લખ્યાં. તે ઉપરાંત હાર્ડીએ બધાં જ પેપરોનું સંપાદન પણ કર્યું. આમ લંડનમાં રહીને એમણે ઘણું કામ કર્યું,એટલું જ નહીં એમણે સઘન પ્રૂફ આપવાની આધુનિક રીતો પણ સ્વીકારી. પરિણામે એમણે પોતે જે તારણો લંડન જતાં પહેલાં આપ્યાં હતાં તેમાંથી ઘણાંખરાં તો સાચાં પડ્યાં પરંતુ કેટલાંક ખોટાં પણ નીકળ્યાં. પરંતુ રામાનુજન ગણિતને વરેલા હતા, ફૉર્મ્યુલાઓને નહીં એટલે જ્યાં ખોટા પડ્યા ત્યાં પણ શું ભૂલ થઈ તે મળતાં એ બહુ ખુશ થઈ જતા. લંડનના ગણિતજ્ઞોના વર્તુળમાં એ એટલા આદરપાત્ર હતા કે ૨૮મી ફેબ્રુઆરી ૧૯૧૮ના એમને રૉયલ સોસાઇટીના ફેલો બનાવવામાં આવ્યા. એમનું નામ રજુ થવાની સાથે જ રૉયલ સોસાઇટીના કર્તાધર્તાઓએ એ સ્વીકારી લીધું. પહેલી જ દરખાસ્તમાં કોઈનું નામ રૉયલ સોસાઇટીએ સ્વીકાર્યું હોય તેવું કદી પણ પહેલાં નહોતું બન્યું અને રામાનુજન પછી, માત્ર નીલ્સ બોહરને આ બહુમાન મળ્યું છે.

clip_image018clip_image020

અવસાન

રામાનુજન માંદગીથી કંટાળ્યા હતા અને ભારત પાછા આવવા માગતા હતા પણ એ પહેલા વિશ્વયુદ્ધના દિવસો હતા એટલે લંડન છોડી ન શક્યા. છેવટે ૨૭મી ફેબ્રુઆરી ૧૯૧૯ના એ લંડનથી રવાના થયા, ભારત આવતાં એમને પસંદ આવે એવું વાતાવરણ મળ્યું અને ખાવાની તકલીફ પણ ન રહી, પણ એમની તબીયત વધારે લથડી. અહીં પણ એ ગણિતમાં જ ખૂંપેલા રહ્યા. અહીં એમણે q-series પર કામ કર્યું પણ તેની બહુ મોડેથી ખબર પડી. એમની એ નોટબુક અચાનક જ મળી અને એનું સંકલન અલગ Lost Notebookને નામે કરવામાં આવ્યું છે. એમનાં સંશોધનો પર વિસ્તાર કરીને પાંચ ભાગ બન્યા તેના ઉપરાંત આ ગ્રંથ પણ છે. એમના જીવનનો અંતિમ મહિનો કષ્ટમય રહ્યો. એમણે બહુ પીડા ભોગવી અને ૨૬મી ઍપ્રિલ ૧૯૨૦ના રોજ આ અવધૂત જેવો ગણિતનો જીવ આ દુનિયા છોડી ગયો.

ગણિત કેમ જાગ્યું?

રામાનુજને પોતે જ આ વાત કરી છે. એમને સપનું આવ્યું કે એક વાર ગલીમાં કોઈ ફેરિયો પીપરમિંટની ગોળીઓ વેચતો હતો. દરેક ગોળીની કિંમત એક આના કરતાં (રૂપિયાના ૧૬મા ભાગ કરતાં) ઓછી હતી, પણ એક ગોળીની કિંમત ૫૦ પૈસા હતી.(જૂનો એક રૂપિયો એટલે ૧૬ આના અથવા ૬૪ પૈસા.આમ ૫૦ પૈસા એટલે કે સાડાબાર આના = આજના ૭૮ પૈસા જેટલું). રામાનુજને એને પૂછ્યું કે આટલો બધો ભાવ કેમ છે. ફેરિયાએ તો કહ્યું કે એને કંઈ ખબર નથી. રામાનુજને એ ખરીદી લીધી. બીજા જ દિવસથી એમના મનમાં ઍરિથમૅટિકલ પ્રોગ્રેશન, જ્યૉમીટ્રિકલ પ્રોગ્રેશન અને હાર્મૉનિક પ્રોગ્રેશનના વિચારો શરૂ થઈ ગયા! આપણે નહીં સમજી શકીએ કે આવી નાની વાતમાંથી એમની અંદરનું ગણિત કેમ જાગ્યું!

હાર્ડીરામાનુજન​ ​નંબર

લંડનમાં એમનો ઉપચાર ચાલતો હતો તે દરમિયાન પણ એમનું મગજ ગણિતમાં જ લાગેલું રહેતું. આ વિશે એક જાણીતો પ્રસંગ છે, પરંતુ એક ખાસ કારણે એનું પુનરાવર્તન કરું છું.. હાર્ડીએ જ આ પ્રસંગ વર્ણવ્યો છે. હાર્ડી એક વાર એમને સેનેટોરિયમમાં મળવા ગયા. એમણે રામાનુજનને કહ્યું કે હું જે ટૅક્સીમાં આવ્યો તેનો નંબર ૧૭૨૯ હતો. આ બહુ નીરસ સંખ્યા છે. રામાનુજન હસ્યા અને કહ્યું કે આ તો બહુ મઝેદાર સંખ્યા છે. આ એક જ નાનામાં​ ​નાની​ ​સંખ્યા​ ​છે​ ​કે​ ​જે​ ​બે​ ​ઘન​ ​સંખ્યાઓના​ ​સરવાળા​ ​તરીકે​ ​બે​ ​રીતે​ ​​ ​દેખાડી​ ​શકાય​ ​છેઃ

 clip_image022

૧૭૨૯ આજે હાર્ડી-રામાનુજન નંબર અથવા ટૅક્સીકૅબ નંબર તરીકે ઓળખાય છે, કારણ કે આ નંબર હાર્ડીએ ટૅક્સી પર જોયો હતો!

મહાલનોબિસ અને રામાનુજન

ભારતમાં આઝાદી પછી જવાહરલાલ નહેરુએ આયોજન પંચની રચના કરી ત્યારે સુપ્રસિદ્ધ આંકડાશાસ્ત્રી પી. સી. મહાલનોબિસને સૌથી પહેલા ઉપાધ્યક્ષ બનાવ્યા. ૧૯૧૩માં મહાલનોબિસ પણ લંડનમાં હતા અને રામાનુજન સાથે એમની મિત્રતા બંધાઈ હતી. બન્ને રહેતા જુદા પણ મોટા ભાગે સાથે જ જોવા મળતા. એમણે પણ સંખ્યા પર રામાનુજનના પ્રભુત્વનો એક કિસ્સો વર્ણવ્યો છે. એક વાર બન્ને રામાનુજનના રૂમ પર બેઠા હતા. મહાલનોબિસ છાપું વાંચતા હતા અને રામાનુજન નાસ્તો બનાવતા હતા. મહાલનોબિસે છાપામાં એક ઉખાણું હતું તે જોયું. એમને એનો જવાબ તો તરત મળી ગયો પણ એમણે રામાનુજનને પણ જોતર્યા. સવાલ એ હતો કે બે બ્રિટિશ લશ્કરી ઑફિસરો પેરિસમાં એક હોટેલમાં રહ્યા. એમના રૂમો અલગ હતા પણ રૂમના નંબરો વચ્ચે એક સંબંધ હતો, તો એ નંબરો શું હશે? રામનુજને આ સાંભળીને જે કડાઈમાં તવેથો હલાવતાં જ કહ્યું , “જવાબ લખો.” મહાલનોબિસ જવાબ લખવા લાગ્યા. પહેલી સંખ્યા રામાનુજને લખાવી તે તો મહાલનોબિસે શોધી જ હતી, પણ રામાનુજન ત્યાં સુધી અટક્યા નહીં અને આખી શ્રેણી લખાવી. જો આવા સંબંધોવાળી સંખ્યાની આખી શ્રેણી હોય તો એમાં કઈ સંખ્યાઓ હોય તે એમણે ઊભા ઊભા જ, ક્ષણનાયે વિલંબ વિના કહી દીધું, ઉચ્ચ ગણિત જાણનારા સમજી શકશે કે આ continued fractionનું ઉદાહરણ હતું.clip_image024૧૭૨૯ ની સંખ્યાનો ખુલાસો રામાનુજનના મનમાં ઓચિંતો ઊગ્યો?

આપણે આશ્ચર્ય અનુભવીએ કે રામાનુજનને હાર્ડીએ ૧૭૨૯ના આંકડા વિશે કહ્યું કે તરત એમણે કેમ જવાબ આપી દીધો? રામાનુજન પર સંશોધન કરનારા ગણિતજ્ઞો પણ એમ જ માનતા હતા, પરંતુ. ૨૦૧૫માં એમોરી યુનિવર્સિટીના ગણિતશાસ્ત્રી કૅન ઑનો/Ken Ono અને એમના સાથી ઍન્ડ્ર્યૂ ગ્રૅનવિલ/Andrew Granville કૅમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીની Wren Libraryમાં રામાનુજનનાં પેપરો તપાસતા હતા એમાં એમને એક પાનું મળ્યું, જે અહીં આપ્યું છે. એમાં છેક નીચે જમણા ખૂણામાં જૂઓ. ત્યાં 1729નો આંકડો તો નથી પણ આપણે ઉપર જોયેલાં એનાં બે સમીકરણો છે જ. (૯ નો ઘન +૧૦નો ઘન બરાબર ૧૨નો ઘન વત્તા ૧ નો ઘન એટલે કે ૧). આનો અર્થ એ કે રામાનુજન કોઈક જુદું સંશોધન કરતા જ હતા, તેમાં આ સંખ્યા આવી ગઈ હતી, એટલે એમણે હાર્ડીને તરત જ જવાબ આપી દીધો. કૅન ઑનો કહે છે કે હું ત્રીસેક વર્ષથી પોતાને રામાનુજન વિશેનો એક્સ્પર્ટ માનું છું પણ મને આની ખબર નહોતી!

(પાનું https://plus.maths.org/content/ramanujan પરથી સાભાર)

તો, રામાનુજન શું કરતા હતા?

પાયથાગોરસનું પ્રમેય છે કે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓમાંથી એક લાંબી હોય તો બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો, એ ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો થાય છે. ધારો કે એક બાજુ 3 સે. મી,, બીજી 4 સે.મી. અને ત્રીજી બાજુ 5 સે.મી. હોય તો 3નો વર્ગ વત્તા 4નો વર્ગ કરીએ તો એ 5ના વર્ગની બરાબર થાય. એ જ રીતે, ત્રિકોણની એક બાજુ 5 સે.મી., બીજી 12 સે.મી. અને ત્રીજી 13 સે.મી, હોય તો 5નો વર્ગ વત્તા 12નો વર્ગ બરાબર 1૩નો વર્ગ થાય. આ તો વર્ગ થયો પણ ઘન હોય કે ચતુર્ઘાત કે પંચઘાત અથવા અનિશ્ચિત ઘાત (n) હોય તો આવાં પદો મળે કે કોઈ પણ બે સંખ્યાના ઘન, ચતુર્ઘાત વગેરેનો સરવાળો કોઈ એટલી જ ઘાતની ત્રીજી સંખ્યાની બરાબર થાય? ઈ.સ. ૧૬૩૭માં પિયરે દ’ ફેર્મા/Pierre de Fermat એ કહ્યું કે આવી સંખ્યા નથી. એ વખતથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ એવી સંખ્યા શોધવામાં લાગ્યા અને સાડાત્રણસો વર્ષ પછી એનો જવાબ છેક ૧૯૯૦માં મળ્યો છે. પરંતુ, આ જ પાનાનાં છેક નીચેનાં ત્રણ સમીકરણો જોતાં જણાશે કે એ પણ ઘન ઘાતવાળી સંખ્યાના સરવાળા જેવાં છે. કદાચ રામાનુજન આનો જવાબ શોધતા હતા અને આવી બે ઘન સંખ્યાના સરવાળાને પરિણામે ઘનઘાતવાળી સંખ્યા આવે તેનાથી માત્ર +૧ અથવા -૧ જેટલા દૂર રહ્યા હતા. તો શું રામાનુજનની નૈસર્ગિક પ્રતિભા ફેર્માના કોયડા સામે લાચાર બની ગઈ? આગળ વાંચશું તો ભેદ ખુલશે. ઉપર +૧ કે -૧ સુધી જઈને અટકેલા જવાબો એટલું જ કહે છે કે રામાનુજન પોતે પણ નહોતા જાણતા તેવા ભવિષ્યના ગાણિતિક અને ભૌતિકશાસ્ત્રીય નિયમો લખતા હતા. કદાચ એ જાણતા પણ નહીં હોય કે એ કોઈને કામ આવશે. કઈ રીતે? આગળ વાંચો.

સ્ટ્રિંગ થિઅરી અને રામાનુજન

નવાઈ લાગશે, કારણ કે સ્ટ્રિંગ થિઅરીનો વિકાસ ૧૯૬૦ના દાયકામાં થયો, એ વખતે રામાનુજનના અવસાનને ત્રણ દાયકાનો સમય થઈ ગયો હતો. આમ છતાં હવે ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ માને છે કે સ્ટ્રિંગ થિઅરીના પહેલા અંકુર રામાનુજનમાં દેખાય છે. આપણે સ્ટ્રિંગ થિઅરી શું છે તે સાદામાં સાદી ભાષામાં સમજવાની કોશિશ કરીએ તે પહેલાં આપણે એક વાત ધ્યાનમાં રાખવાની છે કે આપણા બ્રહ્માંડને સમજવાના જુદા જુદા પ્રયાસો થયા છે. આ બધું સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આવે છે, એટલે કે એમાં લૅબમાં સીધા પરીક્ષણ વિના વૈજ્ઞાનિકો ગણિતનો ઉપયોગ કરીને સૄષ્ટિની રચનાનાં અનુમાનો સમજાવે છે. ઘણી વાર ભૌતિકશાસ્ત્રીઓને એમની સમક્ષના ગણિતની મર્યાદા નડે છે ત્યારે તેઓ ગણિતમાં ફેરફાર કરે છે અને આગળ વધે છે. ન્યૂટને આના માટે કૅલ્ક્યુલસ વિકસાવ્યું, ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમો ઘડ્યા. આઇન્સ્ટાઇને સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો. પરંતુ આ બધું છે, ગણિત! સ્ટ્રિંગ થિઅરી પણ ગણિત જ છે.

સ્ટ્રિંગ થિઅરીઃ વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓની એક જ ઇચ્છા રહી છે કે બધું ઓછામાં ઓછા શબ્દોમાં કે એક જ સૂત્રમાં સમજાવી શકાય. આના માટે જુદાં લાગતાં બળોને એક કરવાની દિશામાં એમણે કામ કર્યું. એટલે કે ન્યૂટનથી માંડીને આઇન્સ્ટાઇન અને તે પછી અબ્દુસ્સલામ સુધી બધાએ એ જ દિશામાં કામ કર્યું. ન્યૂટને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની હાજરી દેખાડી, સ્કૉટલૅંડના ગણિતજ્ઞ જેમ્સ મૅક્સવેલે દેખાડ્યું કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટૅટિક્સ અને ચુંબકત્વ અલગ નથી પણ વીજચુંબકત્વ (Electromagnetism)નાં બે પાસાં છે. 1984માં અબ્દુસ્સલામ અને સ્ટીવન વેઇનબર્ગે કહ્યું કે ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક બળ અને વીક ન્યૂક્લિઅર બળ, બન્ને ઇલેક્ટ્રોવીક (Electroweak) બળનાં જ બે પાસાં છે. હવે ત્રણ બળ રહ્યાં – ગુરુત્વાકર્ષણ, ઇલેક્ટ્રોવીક અને પ્રોટોનને ઝકડી રાખનારું સ્ટ્રોંગ બળ.

આ થઈ બળની વાત, પણ પદાર્થ (matter)નું શું? આપણે યુગોથી માનીએ છીએ કે આખી સૃષ્ટિ નિશ્ચિત સંખ્યાનાં તત્ત્વોની બનેલી છે. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પણ એમ જ માને છે અને હવે જીનિવામાંCERN પાર્ટીકલ ઍક્સીલરેટરમાં થયેલા પ્રયોગો પછી,એવું નક્કી થયું છે કે સૃષ્ટિના નિર્માણમાં વપરાયેલી ઈંટો માત્ર ૧૨ પ્રકારની છે. એ મૂળભૂત કણો છે.આટલે સુધી તો એકીકરણ થઈ ગયું છે પણ આપણે હજી વધારે આગળ વધવા માગીએ છીએ.

પહેલાં વીસમી સદીના બે મહાન સિદ્ધાંતો ક્વૉન્ટમ મૅકેનિક્સ અને રિલેટિવિટીને જોડવાની વાત થઈ. આઇન્સ્ટાઇને ‘સ્પેસ’ અને ‘ટાઇમ’ને એક ‘સ્પેસ્ટાઇમ’ના ભાગ રૂપે દેખાડ્યાં અને કહ્યું કે ભારે દળદાર પિંડ હોય તે સ્પેસટાઇમને વાંકો વાળી દે છે. આપણે જે ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવીએ છીએ તે સ્પેસટાઇમ વાંકો થઈ જવાને કારણે છે. સાદી ભાષામાં સમજવા માટે ઉદાહરણ લઈએ તો, સર્કસમાં ઊંચે ઝૂલા પર ખેલ ચાલતો હોય ત્યારે નીચે જાળ બાંધી હોય છે. કોઈ કલાબાજ જ્યારે નીચે કૂદે ત્યારે એ જગ્યાએ જાળમાં ખાડો પડી જાય છે. હવે એ ખાડાની નજીક કોઈ વસ્તુ હોય તો એ ખાડામાં પડી જાય છે. એવું જ છે. મોટા પિંડને કારણે સ્પેસટાઇમમાં ખાડો પડતાં નજીકનો પદાર્થ એના તરફ ખેંચાઈ જાય છે.

રિલેટિવિટી અગાધ અંતર અને બહુ મોટા પિંડોને જૂએ છે, પણ ક્વૉન્ટમ મૅકેનિક્સ કહે છે કે જેમ સ્પેસ નાનું કરતા જાઓ તેમ કોઈ નિયમ લાગુ નથી પડતો. ઘટનાઓ આગાહી ન કરી શકાય એ રીતે બને છે. જેમ નાના સ્પેસમાં જાઓ તેમ આવું બનવાની શક્યતા વધી જાય છે. એટલે પરમાણુની અંદરના કણો કંઈ આકાશી પિંડો જેમ નથી વર્તતા. હિઝેનબર્ગે તો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત આપ્યો કે તમે કણની સ્થિતિ અને ગતિ, બેમાંથી એક જ વાત સ્પષ્ટતાથી કહી શકો.

હવે બે સિદ્ધાંત વચ્ચેની સમસ્યા જૂઓ. રિલેટિવિટી કહે છે કે સ્પેસટાઇમ પિંડને કારણે વિસ્તરે કે સંકોચાય છે. ક્વૉન્ટમ કહે છે કે સ્પેસટાઇમ બહુ સૂક્ષ્મ હોય તો આવું બને પણ ખરું – ન પણ બને! ક્વૉન્ટમ સાથે ગુરુત્વબળને કેમ જોડવું? કુદરતમાં બધું અનિયમિતપણે થાય છે એ વિચાર જ ક્રાન્તિકારી છે. ભૌતિકવિજ્ઞાનના જે નિયમો વિરાટ પિંડોને લાગુ પડે છે તે નાના પાયે લાગુ નથી પડતા. આમ બન્ને પરસ્પર વિરોધી સિદ્ધાંતો સાચા હોવા છતાં એમને જોડવા હોય તો કંઈક નવું વિચારવું પડે.

આમાંથી સ્ટ્રિંગ થિઅરી આવી. આપણે કણની કલ્પના કરીએ તો એને એક બિંદુ જેવો કલ્પીએ છીએ. સ્ટ્રીંગ થિઅરી આ કલ્પનાને નકારી કાઢીને કહે છે કે કણ વાળ જેવો હોય તો? તો એની લંબાઈ હોય. એ એક પરિમાણ છે. એટલે નાનામાં નાના સ્તરે આપણે દુનિયાને જોઈએ તો એ કેવી દેખાય તે આ પરિમાણ નક્કી કરે છે! આ સ્ટ્રિંગ એટલે સિતારનો તાર. એ રણઝણે અને સંગીત પેદા થાય. બધા તાર જુદા જુદા ધ્વનિ પેદા કરે. આ ખ્યાલમાંથી સ્ટ્રિંગ થિઅરી જન્મી છે. કણ અને બળ અલગ વસ્તુ નથી, એ અનેક રીતે આંદોલિત થયા કરે છે.આનું ગણિત બહુ જટિલ છે. આપણે એટલું જ જાણીએ કે અત્યારે એની લંબાઈclip_image026છે, જે CERNમાં પણ જોઈ શકાય એમ નથી. આ થિઅરી હજી પૂરી વિકસી નથી પરંતુ એનો દાવો છે કે એ જ ‘એકીકરણનો સિદ્ધાંત’ છે. આ સિદ્ધાંત કહે છે કે સૃષ્ટિમાં ત્રણ પરિમાણ નથી, દસ પરિમાણ છે! ત્રણ સિવાયનાં બધાં પરિમાણ દબાઈ ગયાં છે, પરંતુ એ છે ખરાં! આમ આપણે માત્ર ત્રણ પરિમાણ જોઈ શકીએ છીએ. દુનિયાનાં બીજાં પરિમાણો પ્રગટ થાય તો આખી દુનિયા જોવાની આપણી રીત પણ બદલાઈ જાય!

આ કામ તો ગણિત કરી શકે. રામાનુજને એ દિશા ખોલી. એમણે ‘થિટા ફંકશન’ પર કામ કર્યું. આમાં એક કરતાં વધારે પરિમાણો હોય તો શું નિષ્કર્ષ નીકળી શકે તે સમજી શકાય છે. રામાનુજને દેખાડ્યું કે કેટલાંક પરિણામો ‘થિટા ફંકશન જેવાં લાગે છે, પણ છે નહીં. એમને એમણે ‘મૉક થિટા’ નામ આપ્યું (એટલે કે થિટાની નકલ). આ સમીકરણો સ્ટ્રિંગ થિઅરીમાં કામ આવે છે, પણ એની જાણ માંડ પાંચ-સાત વર્ષ પહેલાં થઈ! રામાનુજન પોતે તો કંઈ લખતા નહોતા કે એમના કામનો ઉદ્દેશ શો હતો. પરંતુ મૃત્યુથી એક મહિના પહેલાં એમણે હાર્ડીને પત્ર લખ્યો અને તેમાં આવાં ૧૭ સમીકરણો મોકલ્યાં. આજે આ સમીકરણો બોસોન સ્ટ્રિંગ થિઅરી, સુપરસ્ટ્રિંગ થિઅરી અને M-થિઅરીમાં વપરાય છે. એટલે 1729 વિશે જવાબ આપતી વખતે રામાનુજન માત્ર એ સંખ્યા વિશે જ નહીં, આગળ વિચારતા હતા. અને તે પણ ફેર્માના કોયડાના ઉકેલ સુધી પણ એમનો પ્રયત્ન મર્યાદિત નહોતો, ખરેખર તો એ એમ માનીને ચાલતા હતા કે બ્રહ્માંડ ત્રિ-પરિમાણી ન હોય તો એને જોવાની બીજી કોઈ રીત હોય ખરી? રામાનુજન એકીકરણનો સિદ્ધાંત શોધતા હતા પણ મૃત્યુ એમને આંબી ગયું.

1+2+3+4….n = -1/12 ?

રામાનુજનનો આ જવાબ આપણે ગળે તો ઊતરે તેમ નથી કારણ કે એ આપણી જેમ માત્ર આપણી આસપાસની સૃષ્ટિ નહોતા જોતા. આપણને સમજાય તેવી વાત એ જ છે કે આ શ્રેણી Divergent શ્રેણી છે. એનો અર્થ એ કે સરવાળો કરતા જાઓ તેમ એ સંખ્યા વધતી જ રહેશે. આપણે આ પહેલાં આબેલ અને ગૅલ્વામાં પણ જોયું છે કે સમીકરણની બન્ને બાજુ કોઈ એક બિંદુ પર સમતોલ થવી જોઈએ. ટૉપોલોજીમાં પણ જુદા જુદા પરિમાણમાં આવેલાં બિંદુ એક થઈ જતાં હોય છે. સમીકરણ પણ વાસ્તવિક જગતના પરિમાણોને અનુસરતું હોવું જોઈએ. એટલે એણે સમતોલ થવું જ જોઈએ. આ સમીકરણ સમજાવવા માટે ઓછામાં ઓછા છ મહિનાની તાલીમ લેવી પડે એમ છે એટલે હું એ પ્રયત્ન પણ અહીં નહીં કરું. મેં આનો પ્રભાવિત કરે એવો ઉકેલ યુ-ટ્યૂબ પર[i] જોયો છે, અડધુંપડધું સમજ્યો એવો વહેમ પણ પડ્યો. આવો વહેમ તમને પડે છે કે નહીં તે લિંક પર જઈ, વીડિયો જોઈને નક્કી કરવા વિનંતિ છે! આમ છતાં શક્ય તેટલી હદે, શક્ય તેટલી સાદી ભાષામાં સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ તે આ અદ્ભુત ગણિતશાસ્ત્રીને અંજલિ સમાન ગણાશે. ખરું જોતાં, રામાનુજને આ સમીકરણ કેમ બનાવ્યું તેની અટકળ કરવાનો જ આ વીડિયોમાં પ્રયાસ થયો છે. એમાં મૂળ પદાવલીની નીચે કુદરતી સંખ્યાઓ મૂકીને તાળો મેળવવામાં આવ્યો છે. પરંતુ સાવ જ આવો તુક્કો ગણિતની ચર્ચામાં ટક્યો કેમ? એનું કારણ એ કે. રામાનુજન પર સંશોધન કરનારા વિદ્વાનોને એમાં રિઈમનનું ઝીટા ફંક્શન દેખાયું. એ શું છે? આપણે પહેલાં સંખ્યાઓનું સ્વરૂપ સમજીએ કે જેથી રિઈમન અને રામાનુજનને સમજવાની દિશામાં પહેલું પગલું ભરી શકીએ.clip_image028

એટલું યાદ રાખશો કે અહીં જે સમજાવ્યું છે તે માત્ર ચાખવા પૂરતું છે, કદાચ તેના પછી વધારે જાણવા માટે તમારી ભૂખ પણ ખૂલે!

ઝીટા ફંક્શન નંબર થિઅરીનું મહત્ત્વનું ઓજાર છે. જે ગણિતશાસ્ત્રીઓને સંખ્યાઓને રમાડવાનો શોખ હોય તેમને એના વિના ચાલતું નથી. આનો વિકાસ બર્નહાર્ટ રિઈમન (મૃત્યુ ૧૮૬૬)) નામના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીએ કર્યો એટલે એને ‘રિઈમન ઝીટા ફંક્શન’ કહે છે. આની મદદથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ આપણી નજર સામે ન હોય તેવી દુનિયામાં પહોંચી શક્યા છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર એની પાછળ ચાલે છે. રામાનુજને પણ રિઈમન ઝીટા ફંકશનનો ઉપયોગ કર્યો છે પરંતુ એમને રિઈમન ઝીટા ફંક્શન વિશે ખબર હતી કે કેમ તે અલગથી જાણી શકાયું નથી. એમણે આપેલી ફૉર્મ્યૂલાઓ જોઈને સંશોધકોએ નક્કી કર્યું કે એમાં રિઇમન ઝીટા ફંક્શન રહેલું છે.

 સંખ્યા શું છે?

સંખ્યાઓની દુનિયામાં જઈએ તો 1, 2, 3,…વગેરે કુદરતી (અથવા સ્વાભાવિક) સંખ્યાઓ છે, જે આપણે સમજી શકીએ છીએ. એ શ્રેણી અનંત છે. એ બધી ધન (+) સંખ્યાઓ છે.

● પરંતુ આપણો અનુભવ ઋણ (-) સંખ્યાઓનો પણ છે. દરરોજ બજારમાં જઈએ છીએ ત્યારે આપણાં ખિસ્સાંમાંથી પૈસા બાદ કરીએ છીએ અને દુકાનદારના ગલ્લામાં ઉમેરીએ છીએ. આમ માત્ર ધન નહીં, ઋણ સંખ્યાઓ પણ છે.

● એટલું જ નહીં અર્ધો, પોણો એવા અપૂર્ણાંકો પણ છે અને સવા, દોઢ જેવાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકનાં મિશ્રણો પણ છે!

હવે થોડા આગળ વધીએ.

● આપણી સંખ્યા વ્યવસ્થામાં ‘મિશ્ર સંખ્યાઓ’ (compound numbers) પણ છે, જેના ભાગ પાડી શકાય છે. દાખલા તરીકે 12 એટલે 3 x 2 x 2.

● અમુક સંખ્યા એવી છે કે એના ભાગ ન પડી શકે. એના નિઃશેષ ભાગ કરવા માટે એ જ સંખ્યાથી ભાગવી પડે. દાખલા તરીકે 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. આવી સંખ્યાઓને ‘પ્રાઇમ નંબર’ કહે છે.

● વળી સંખ્યાઓ વચ્ચે સંબંધ પણ છે. દરેક સંખ્યાને એ જ સંખ્યા વડે ગુણો એટલે નવો સંબંધ મળશે. દાખલા તરીકે, 2×2=4. 12×12=144. આને વર્ગ કહે છે. એ જ રીતે ત્રણ વાર ગુણો તો ઘન મળે. એમ આગળ વધતા જાઓ.

● ઉલટે રસ્તે જઈએ તો વર્ગમૂળ (વર્ગની સંખ્યાની મૂળ સંખ્યા મળે). આમ દરેક સંખ્યાનાં વર્ગમૂળ (કે ઘનમૂળ વગેરે) પણ છે જ.

● ધન સંખ્યાને જેટલી વાર ધારો તેટલી વાર એ જ સંખ્યાથી ગુણી શકો, તે જ રીતે ભાગી પણ શકો.

● ધન સંખ્યા સાથે એમ કરી શકો તો ઋણ સંખ્યા સાથે પણ કરી શકો. આથી 1નો વર્ગ થઈ શકે. 1×1=1.

● એ જ રીતે. એનું વર્ગમૂળ પણ છેઃ 1÷1=1.

● પરંતુ આ 1 ધન સંખ્યા છે. -1 હોય તો એનું વર્ગમૂળ હોઈ શકે? ગણિતશાસ્ત્રીઓએ -1ને પણ વર્ગમૂળનો અધિકાર આપ્યો છે: √ -1. પરંતુ આ સંખ્યા શું તે કોઈ જાણતું નહોતું એટલે આ સંખ્યાને એ જમાનામાં ‘કાલ્પનિક’ (imaginary) નામ આપવામાં આવ્યું. એના માટે ‘i’ વપરાય છે. આમ √ -1 = i એટલે કે i x i = -1.

● પરંતુ કોઈ પણ બે ઋણ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો તો ઋણનું ચિહ્ન આવી જ ન શકે. બે ઋણનો ગુણાકાર થતાં એ ધન બની જાય! આમ કેમ? કારણ કે આપણે જે ગણિત ભણ્યા છીએ તે આ દુનિયાનું સામાન્ય ગણિત છે. કોઈ નવી દુનિયામાં નવી સંખ્યા વ્યવસ્થા ન હોય?

ખરું જોતાં આ ‘કાલ્પનિક’ સંખ્યા ખરેખર કાલ્પનિક નથી, એનું અસ્તિત્વ છે! માત્ર આપણી સંખ્યા વ્યવસ્થામાં નથી. એ જુદા પ્રકારની સંખ્યા શ્રેણી છે અને એની દરેક સંખ્યા ‘જોડી’ છે, જેમાં એક કુદરતી (આપણી દુનિયાની) સંખ્યા છે અને બીજી સંખ્યા આ કહેવાતી કાલ્પનિક સંખ્યા છે. આને ‘સંકુલ સંખ્યા’ (Complex Number) કહે છે. દાખલા તરીકે, (a+bi). આમાં a વાસ્તવિક સંખ્યા છે જ, પરંતુ bi માં b વાસ્તવિક અને i કાલ્પનિક સંખ્યાclip_image030 છે. (a+ib) ને આલેખ પર બતાવવાથી સમજવું સરળ થાય છે. અહીં આલેખમાં a = 2 અને b = 1 હોય તેવી સંખ્યા (2+i) બતાવી છે. તે જ રીતે (3 + 3i) પણ દર્શાવી છે.

આવી સંખ્યા ક્યાં જોવા મળે? વીજચુંબકીય ક્ષેત્રમાં. અહીં આપણે વીજતરંગની તીવ્રતા અને ચુંબકશક્તિની તીવ્રતા માપવાની હોય છે. આ જોડી છે. આમ પણ આપણે ‘કાલ્પનિક સંખ્યાઓ’નો ઉપયોગ આપણી રીતે કરીએ જ છીએ. સ્કૂલમાં 18.5 % બાળકો નાપાસ થયાં. કોઈ અડધું બાળક હોઈ શકે? અથવા કોઈ એક બાળક અડધું પાસ થયું હોય અને અડધું નાપાસ થયું હોય એવું બની શકે? પરંતુ આપણે સમજી લઈએ છીએ કે સ્થિતિ શી છે.

આમ સંકુલ સંખ્યાઓ છે અને વ્યાવહારિક જગતમાં એ ન દેખાતી હોય તો પણ વિજ્ઞાનમાં ઘણી જગ્યાએ એનો પ્રભાવ દેખાય છે. ભલે ને, તમારે ક્વૉન્ટિટી વાસ્તવિક સંખ્યામાં શોધવાની હોય, પરંતુ એ સંખ્યા સુધી પહોંચવામાં કાલ્પનિક સંખ્યા બહુ કામ આવે છે. રિઇમને સંકુલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને એક અધિતર્ક(Hypothesis) આપ્યો જે આજ સુધી સાબીત નથી થઈ શક્યો, પરંતુ વ્યવહારમાં એ બહુ અસરકારક પુરવાર થયો છે. આ અધિતર્ક વિશેની ફૉર્મ્યુલા જે લોકો ઉચ્ચ ગણિત જાણતા હોય એમના માટે અહીં આપી છે.

clip_image032

ફૉર્મ્યુલામાં જમણા છેડે જોતાં xને 1 કરતાં મોટો દેખાડ્યો છે. ડાબે છેડે શરૂઆતમાં દેખાતું ζ ચિહ્ન ઝીટાનું છે. એ xનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો સામી બાજુ મૂકવાનું કહે છે. Σ આ સિગ્માનું ચિહ્ન છે. આ બન્ને ગ્રીક અક્ષરો છે. સિગ્મા સરવાળો સૂચવે છે…..clip_image034વગેરે nની કિંમતો મૂકતા જવાની છે. સિગ્માની ઉપર મૂકેલા ચિહ્ન સુધી સરવાળો કરવાનો હોય તો x નું મૂલ્ય શું હોય, એ આ ફૉર્મ્યુલા દેખાડવા માગે છે. અહીં અનંતનું ચિહ્ન મૂકેલું છે. સિગ્માના ચિહ્ન નીચે n છે તે સૂચવે છે કે કોઈ અનિશ્ચિત સંખ્યા સુધી જવાનું છે. (અહીં માત્ર 1 સુધીનાં પદોનો સરવાળો કરવાનો છે). આ રીતે કરતાં x ની ધન કિમતો માટે (જેમ કે x= 1, 2, 3) સંખ્યાઓ ક્રમશઃ 1 કરતાં નાની થતી જશે, (ઉપર લાલ અક્ષરમાં છે તેમ). જેથી કુલ સરવાળો મર્યાદિત( finite) રહેશે. પણ જો x ઋણ આંકડો હશે તો સરવાળો અતિ મોટો થશે. દા..ત. x =-2 હોય તો ζ(2) = 1 + 4 +8+ .. એમ અનંત સુધી જાય. પરંતુ ઝીટા વિધા પર બહુ કામ કરનાર રિઇમને ત્રીજી શક્યતા પણ તપાસી. એણે x સંકુલ આંકડો હોય. તો શું થાય તે પણ જોયું. આપણે ઉપર જોઈ લીધું છે કે સંકુલ એટલે complex number વાસ્તવિક સંખ્યા અને કાલ્પનિક સંખ્યાનું મિશ્રણ હોય છે. કાલ્પનિક સંખ્યા એટલે શું તે પણ આપણે ઉપર જોઈ લીધું છે. રામાનુજનની ફૉર્મ્યુલામાં પણ આ જ જોવા મળ્યું! હવે ઉપર લિંક આપી છે તે વીડિયો ( રામાનુજન) ફરી જોશો તો એમાં સંખ્યાઓની ગોઠવણીનો તર્ક પણ સમજાશે.

રામાનુજનની ધાર્મિક માન્યતાઓ

રામાનુજન માનતા કે એમને નામગિરિ દેવી સપનામાં આવીને સમીકરણો દેખાડી જાય છે અને પોતે તો માત્ર લખી નાખે છે. એ શૂન્યને નિર્ગુણ બ્રહ્મ સાથે સરખાવતા અને અનંત (infinity)ને અપાર શક્યતાઓ તરીકે જોતા હતા. મહાલનોબિસ કહે છે કે એમને Theory of Reality શોધવામાં રસ હતો અને કહેતા કે શૂન્ય અને અનંતનો ગુણાકાર કરવાથી બધી જ સાંત (અંતયુક્ત) સંખ્યાઓ મળી શકે. આ સિદ્ધાંત એ દૃશ્ય જગતને લાગુ પાડતા હતા, મહાલનોબિસ કહે છે કે અમે લાંબે સુધી ચાલતા ત્યારે રામાનુજન આવી વાતો કરતા, પરંતુ આવી વાતો એમને બહુ સમજાતી નહીં.

રામાનુજનનાં વડીલો નૃસિંહ ભગવાનનાં ઉપાસક હતાં. સપનામાં લોહી ટપકતું દેખાય તેને નૃસિંહની કૃપા માનતાં. રામાનુજન કહેતા કે એમને ઘણી વાર લોહી દેખાય છે. એક વાર સપનામાં લોહીનો પ્રવાહ વહેતો હતો. એમાંથી એક હાથ બહાર આવ્યો અને લખવા માંડ્યો. એ ગણિતનાં સમીકરણો હતાં. રામનુજનને એ યાદ રહી ગયાં અને સવારે એમણે એ લખી લીધાં. આ રામાનુજનનાં ઍલિપ્ટિકલ સમીકરણો છે, જેનો clip_image035એમણે કદી અભ્યાસ નહોતો કર્યો. જો કે હાર્ડી કહે છે કે એ કોઈ પણ તર્કબદ્ધ ગણિતશાસ્ત્રી વિચારે તેમ જ વિચારતા અને કલ્પનાશીલ હતા. સતત એમાં રચ્યાપચ્યા રહેતા એટલે નવા નવા અખતરા કરીને અદ્‍ભુત લાગે એવાં પરિણામો પર પહોંચતા હતા.

એમનાં પત્ની જાનકી કહે છે કે એમને જ્યોતિષનું પણ સારું જ્ઞાન હતું. એ લંડન ગયા તે પહેલાં ઘણાં સગાં સંબંધી મૂરત કઢાવવા આવતાં. એક વાર પાડોશમાં કોઈ છોકરો બીમાર પડ્યો અને મરવા જેવી હાલત હતી ત્યારે રામાનુજને એમને બીજે જવાની સલાહ આપી. એમણે કહ્યું કે સ્થળ અને કાળના સંયોગનો દોષ છે. માબાપ છોકરાને બીજે લઈ ગયાં અને એની તબીયત સુધરવા લાગી. હવે છોકરો ઘરે પાછા જવાની હઠ કરવા માંડ્યો. રામાનુજને કહ્યું કે હજી સમય નથી આવ્યો, પરંતુ છોકરાની હઠ સામે માબાપે નમતું આપ્યું અને ઘરે આવ્યાં. થોડી જ વારમાં એ બાળકનું મૃત્યુ થઈ ગયું!

પોતાની બીમારીનો એમને ખ્યાલ હતો એટલે સામાન્ય રીતે પત્ની સાથે બહુ સ્નેહથી બોલતા તેમાં જ એમણે પત્નીને સાવધ કરી દીધી કે પોતે ૩૫ની ઉંમર પાર નહીં કરે અને પત્નીએ હિંમત રાખવાની છે.

આવા ચુસ્ત પરંપરાવાદી રામાનુજન ગણિતના ક્ષેત્રમાં નિરાડંબરી ક્રાન્તિકારી હતા. આવી પ્રતિભા રોજરોજ ન પાકે. કુદરતે જાણે એમનું સર્જન જ ગણિત માટે કર્યું હતું. એમના થકી ભારતનું નામ ઊજળું છે.


[i]

Mathematicians-9-Jules Henry Poincare

ગણિતશાસ્ત્રીઓના પરિચયની આ શ્રેણીમાં આપણે હવે વીસમી સદીના દરવાજે પહોંચવાના છીએ. આ દરવાજો પાર કરાવવા માટે આજે આપણી સાથે છે ફ્રાન્સના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી Jules Henry Poincare/ જ્યૂલ ઓંર્રી પોયેંકાર્રે ( ફ્રેન્ચ નામ છે. આપણે નામના અંતે care જોઈનેકેરઉચ્ચાર કરીએ તો ખોટું ગણાય). ગણિતનું એક પણ ક્ષેત્ર એવું નથી, જેમાં પોયેંકાર્રેએ કંઈ પ્રદાન ન કર્યું હોય. સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ ગણિતશાસ્ત્ર, ગાણિતિક ખગોળશાસ્ત્ર અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એમનો ફાળો બહુ મોટો રહ્યો. પોયેંકાર્રે ચિંતક હતા અને ગણિતને એ ફિલોસોફરની નજરે જોતા.

એમના પિતરાઈ ભાઈ રેમોં પોયેંકાર્રે ૧૯૧૩માં ફ્રાન્સના રાષ્ટ્રપતિ બન્યા. પરંતુ દુનિયામાં ગણિતશાસ્ત્રી પોયેંકાર્રેની પ્રતિષ્ઠા હંમેશાં ઊંચી જ રહી. બર્ટ્રાન્ડ રસેલને કોઈએ પૂછ્યું કે આજના સમયમાં ફ્રાન્સે કયો મહાન માણસ પેદા કર્યો છે. રસેલે તરત જવાબ આપ્યો, ‘પોયેંકાર્રે”. સામી વ્યક્તિએ પૂછ્યું કે તમે રૅમોંની વાત કરો છો? રસેલે કહ્યું, “ના હું એના કઝિન ઓંર્રી વિશે વિચારતો હતો…”

બાળપણ

પોયેંકાર્રેનો જન્મ ૧૮૫૪માં સાધનસંપન્ન પરિવારમાં થયો. એમના પિતા મોટા પ્રતિષ્ઠિત ડૉક્ટર હતા. પાંચ વર્ષની ઉંમરે જ ઓંર્રીને ડિપ્થેરિયા થયો અને નવ મહિના સુધી તો ગળું લકવાગ્રસ્ત રહ્યું અને બાળકને પથારીવશ રહેવું પડ્યું. આને કારણે દોડવાભાગવાની રમતો હંમેશ માટે બંધ થઈ ગઈ. પણ બાળકનું ધ્યાન .મગજની રમતો તરફ વળી ગયું. માતાના પ્રયાસથી એમની ગ્રહણ શક્તિનો બહુ વિકાસ થયો પરંતુ શારીરિક સંચાલન (motor function) નબળું રહ્યું. એમનામાં બન્ને હાથે લખવાની શક્તિ વિકસી અને ડાબે હાથે લખે કે જમણે હાથે, અક્ષર પણ એકસરખા રહેતા – ખરાબ!

નજર નબળી પડી ગઈ હતી એટલે વર્ગમાં બોર્ડ પર લખેલું દેખાય જ નહીં. એમને બદલામાં યાદશક્તિ બહુ સારી મળી હતી. એટલે શિક્ષક જે બોલે તે સાંભળીને યાદ રાખી લે. એક વાર કોઈ પુસ્તક વાંચી લે તે પછી વર્ષો સુધી પાના નંબર અને લીટીઓ સહિત બોલી શકતા.

બાળપણમાં એમને ગણિતમાં નહીં પણ પ્રકૃતિમાં બહુ રસ હતો. પક્ષીઓ માટે એમને પ્રેમ હતો અને એક વાર હાથમાં એરગન લઈને રમતા હતા ત્યારે એક પક્ષી એમની ગોળીથી વિંધાઈને પડ્યું તે પછી પોયેંકાર્રેએ કદી શિકાર ન કર્યો. નવ વર્ષની ઉંમરે એમણે ગણિતમાં ચમક દેખાડી અને એમના શિક્ષકે કહ્યું કે આ છોકરાએ લખ્યું છે તે એક ‘માસ્ટરપીસ’ છે. પરંતુ એમાંથી પોયેંકાર્રેની જે સર્જકતા દેખાઈ તેનાથી શિક્ષકને ચિંતા પણ થઈ કે પરીક્ષામાં તો આવું ચાલશે નહીં. એટલે શિક્ષકે છોકરાને થોડા ચીલાચાલુ થવાની પણ સલાહ આપી!

પરંતુ ગણિતે એમને ઝકડ્યા તે ચૌદ વર્ષ પૂરાં થયાં ત્યારે. પછી તો આખી જિંદગી ગણિત અને પોયેંકાર્રે કદી વેગળાં ન થયાં. એમની પકડ એટલી હતી કે, એમણે પોતાના જેટલા સંશોધનપત્રો લખ્યા છે તે મોટા ભાગે સળંગ, કશું સુધાર્યા વિના સીધા જ લખ્યા છે.

૧૮૭૧માં ૧૭ વર્ષની ઉંમરે હાયર સેકંડરીમાં સાહિત્ય અને વિજ્ઞાન સાથે પાસ તો થયા પણ ગણિતમાં નાપાસ થતાં જરાકમાં બચ્યા. પરંતુ તે પછી વનસંવર્ધન સ્કૂલમાં પ્રવેશ મેળવવા માટે એમણે જબ્બર તૈયારી કરી અને ગણિતમાં પ્રથમ રહ્યા. તે પછી પોલિટેકનિક સ્કૂલમાં દાખલ થયા ત્યારે વાત ફેલાઈ ગઈ હતી કે જે છોકરો આવે છે તે જીનિયસ છે. એટલે એના ઇંટરવ્યૂ માટે એક કલાક હતો તેમાંથી સવાલ તૈયાર કરવા માટે જ એક પ્રોફેસરે પોણો કલાક લઈ લીધો કે અઘરામાં અઘરો સવાલ પૂછવો. પણ પોયેંકાર્રે માટે તો ૧૫ મિનિટ પણ ઘણી થઈ પડી. એમને પરીક્ષકે સૌથી ઊંચો ગ્રેડ આપ્યો.

પરંતુ ૧૮૭૫માં એ પાસ થઈને બહાર નીકળ્યા તે પછી એ ખાણ વિજ્ઞાન સ્કૂલમાં દાખલ થયા. એમને એન્જિનિયર બનવું હતું. અહીં એ પોતાનો અભ્યાસ કરતા રહ્યા પણ ખાલી સમયમાં ગણિતમાં ડૂબી જતા. એમણે પોતાનું ડિફરેન્શિયલ ઇક્વેશનનું કામ આ જ રીતે કર્યું. અહીં એમણે એક અભ્યાસપત્ર રજુ કર્યો તે વાંચીને પરીક્ષકે કહ્યું કે નજર નાખતાં ખબર પડી જાય છે કે એક અસાધારણ પ્રતિભાનું કામ છે પણ એને બરાબર સમજવા માટે એમાં ઘણા સુધારા અને ઉમેરા કરવા પડે એમ છે. પોયેંકાર્રે તો અંતઃસ્ફુરણા પર કામ કરતા હતા એટલે એક વાર શિખરે પહોંચીને પાછું વાળીને ન જોતા કે ક્યાં પગથિયાં ફલાંગીને એ ઉપર પહોંચ્યા.

એકથી વધારે અવકાશી પિંડોની ગતિ

૧૮૮૯માં સ્વીડનના રાજાએ આપણી સૂર્યમાળા કેટલી સ્થિર રહી શકશે એ સવાલ પૂછ્યો અને એનો જવાબ આપનારને ઇનામ આપવાની જાહેરાત કરી. આ સવાલનો ઉકેલ મેળવવા માટે ગણિતશાસ્ત્રીઓ ન્યૂટનના સમયથી લાગેલા છે. બે પિંડો પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવે અને એ રીતે બન્ને એકબીજાની ગતિને અસર કરે. પરંતુ જો આવા ત્રણ પિંડો હોય તો? અને માત્ર ત્રણ જ શા માટે? આવા એકબીજાની ગતિ પર અસર પાડતા ઘણા પિંડ પણ હોઈ શકે. આ સવાલ આજે n-body problem તરીકે ઓળખાય છે. આ બધાની ગતિ અને પ્રભાવ નક્કી કરવા માટે કોઈ એક ફૉર્મ્યુલા હોઈ શકે? જો કે એમાં એક ભૂલ પણ રહી ગઈ હતી. અને પોયેંકાર્રે એનો સાચો જવાબ ન આપી શક્યા આમ છતાં, એમને જ ઇનામ આપવામાં આવ્યું કારણ કે એમણે જે કામ કર્યું હતું તે ટૉપોલૉજીમાં (આકાર અને સ્પેસના શાસ્ત્રમાં) બહુ કામ આવે તેમ હતું.

n-body problemમાં મોટી સમસ્યા એ છે કે કોઈ પણ અવકાશી પિંડની દર ક્ષણની ગતિ ગણવાની છે. દાખલા તરીકે સૂર્યની આસપાસ ફરતી પૃથ્વી અને પૃથ્વીની આસપાસ ફરતો ચંદ્ર. પરંતુ ગ્રહ શરૂઆતમાં બન્યો (અને આજે પણ) ત્યારે બહારની સપાટી ભલે ઠંડી થઈને ગોળ બની ગઈ હોય પરંતુ હજી અંદર એ પ્રવાહી રૂપમાં જ હોય છે. ગ્રહ જ્યારે પરિક્રમા કરતો હોય ત્યારે આ પ્રવાહી અંદર અનિયમિત ગતિએ આમથી તેમ ફરે છે. આની અસર પણ ગ્રહની ગતિ પર પડે છે. આમ આ પ્રશ્ન કઠિન છે અને સૂર્યમાળાની સ્થિરતા વિશે પાકે પાયે કંઈ કહી ન શકાય. આથી આ પ્રશ્નનો જવાબ ન મળવા છતાં પોયેંકાર્રેને ઇનામ અપાયું.

સાપેક્ષવાદ, આઇન્સ્ટાઇન અને પોયેંકાર્રે

આપણે જાણીએ છીએ કે આઇન્સ્ટાઇન સાપેક્ષવાદના સ્થાપક હતા. પરંતુ આઇન્સ્ટાઇને જૂન ૧૯૦૫માં એમની સ્પેશિયલ થિઅરી ઑફ રિલેટિવિટીનો લેખ લખ્યો તેનાથી થોડા વખત પહેલાં પોયેંકાર્રેનો લેખ પ્રકાશિત થયો હતો. પોયેંકાર્રે અને આઇન્સ્ટાઇન, બન્ને લોરેન્ત્ઝનાં સમીકરણોનો જ ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ એ વખતે પ્રકાશની ગતિનું માધ્યમ શું, એ વિશે એક ધારણા પ્રચલિત હતી. એ માધ્યમને ‘ઈથર’ નામ આપવામાં આવ્યું હતું. લોરેન્ત્ઝ્નાં સમીકરણ આ ધારણા પર જ બન્યાં હતાં અને પોયેંકાર્રેએ પણ એનો જ ઉપયોગ કર્યો. જો કે એમણે પણ કહ્યું કે સ્પેસ અને ટાઇમ અવલોકનકારની સાપેક્ષ છે. બીજી બાજુ આઇન્સ્ટાઇને પણ સ્પેસ અને ટાઇમ સાપેક્ષ છે એવું જ સ્થાપિત કર્યું અને તે સાથે જ ઈથરનો ખ્યાલ રદ કર્યો. એમણે કહ્યું કે પ્રકાશ કોઈ જાતના માધ્યમ વિના શૂન્યાવકાશમાં પણ નિરપેક્ષ ગતિએ જ પ્રવાસ કરે છે. ઈથર હટી જતાં બ્રહ્માંડનું સરળ મૉડેલ બનાવવાનું શક્ય બન્યું. પ્રકાશની ગતિને અચળ બતાવીને આઇન્સ્ટાઇને લૉરેન્ત્ઝનાં સમીકરણો અને મૅક્સવેલનાં ઇલેક્ટ્રો-મૅગ્નેટિક સમીકરણોને ભૌતિક જગતમાં અર્થપૂર્ણ બનાવ્યાં.

સાપેક્ષવાદનો યશ ખરેખર કોને આપવો તેનો વિવાદ હજી પૂરો નથી થયો. કેટલાક માને છે કે એ વખતે જર્મનીએ પોતાની રાજકીય વગ વાપરીને પોયેંકાર્રેના પેપરને બહુ પ્રસિદ્ધિ ન મળવા દીધી. આવું કહેનારા એવો પણ આક્ષેપ કરે છે કે આઇન્સ્ટાઇને પોયેંકાર્રેનો લેખ પ્રકાશન પહેલાં જ વાંચી લીધો હતો. જો કે બીજા કેટલાક વિદ્વાનો કહે છે કે વિજ્ઞાનમાં કોઈ એક વ્યક્તિ કંઈ કામ કરે તેનો પાયો એનાથી પહેલાંના વૈજ્ઞાનિકોના કામમાં હોય જ છે. એમનું માનવું છે કે સાપેક્ષવાદની સ્થાપનાનો યશ લોરેન્ત્ઝ, પોયેંકાર્રે અને આઇન્સ્ટાઇન, ત્રણેયને મળવો જોઈએ.

એ પણ નોંધવું જોઈએ કે પોયેંકાર્રે તે પછી સાત વર્ષમાં જ મૃત્યુ પામ્યા અને આઇન્સ્ટાઇને ૧૯૧૫માં જનરલ રિલેટિવિટીનો સિદ્ધાંત પણ રજૂ કર્યો અને એમના સ્પેસ-ટાઇમના ખ્યાલે તો ભૌતિકશાસ્ત્રને જ બદલી નાખ્યું.

પોયેંકાર્રે કન્જેક્ચરની ૯૮ વર્ષે સાબીતી!

ઓંર્રી પોયેંકાર્રેએ ૧૯૦૪માં એક વિચાર રજૂ કર્યો જેનું ટૉપોલૉજીમાં બહુ મહત્ત્વ છે. એને પોયેંકાર્રે ક્ન્જેક્ચર (પોયેંકાર્રેનું અનુમાન) કહે છે. એમણે એની સાબીતી નહોતી આપી, પરંતુ વ્યાવહારિક રીતે એનો ઉપયોગ ટૉપોલૉજીમાં થતો રહ્યો છે. એની સાબીતી મળતાં સો વર્ષ નીકળી ગયાં. છેક ૨૦૦૨માં રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી ગ્રેગરી પેરેલ્માને પોયેંકાર્રેના કન્જેક્ચરને સાચો ઠરાવ્યો. ( મહિનાની ૧૩મી તારીખે એમને ૫૧ વર્ષ પૂરાં થાય છે!)

આ પેરેલ્માન પણ એવા ગજબના માણસ છે કે એમણે ૨૦૦૨માં પોતાની સાબીતી સીધી જ ઇંટરનેટ પર મૂકી. ટૉપોલૉજીના નિષ્ણાતો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સનસનાટી ફેલાઈ ગઈ. એમને અમેરિકા બોલાવવામાં આવ્યા, જ્યાં એમણે MIT અને બીજી યુનિવર્સિટીઓમાં લેક્ચરો પણ આપ્યાં, તે પછી પાછા રશિયા ચાલ્યા ગયા અને બધા સાથે સંપર્ક કાપી નાખ્યો. એ અપરિણીત છે અને માતા સાથે રહે છે. મે ૨૦૦૬માં પેરેલ્માનને ગણિતમાં નોબેલની સમકક્ષ ગણાતો ફીલ્ડ ચંદ્રક આપવામાં આવ્યો તો એમણે એ સ્વીકારવાનો ઇનકાર કર્યો કે આ ઇનામ મારા માટે તદ્દન નકામું છે. સાબીતી સાચી હોય તો સૌ સમજી જશે. એના કરતાં વધારે કદર શું કરી શકાય? મને પૈસા કે નામની જરૂર નથી અને હું પ્રાણીઘરનું પ્રાણી નથી કે મને સૌ પ્રદર્શનમાં મૂકે. ૨૦૧૦માં ક્લે ઇન્સ્ટીટ્યૂટે પોયેંકાર્રે કન્જેક્ચરની સાબીતી માટે બીજું દસ લાખ ડૉલરનું ઇનામ આપવાની જાહેરાત કરી, પણ પેરેલ્માને ફરી ના પાડી. પોયેંકાર્રે કન્જેક્ચરનો ખુલાસો મૂળ તો હેમિલ્ટને આપ્યો હતો અને પેરેલ્માને એમાં રહી ગયેલી કચાશો દૂર કરી હતી. એમણે કહ્યું કે ક્લે ઇન્સ્ટીટ્યુટે હેમિલ્ટનને અન્યાય કર્યો છે એટલે હું ઇનામ નહીં લઉં! એમના એક મિત્રના કહેવા પ્રમાણે એમણે હવે ગણિત છોડી દ્દીધું છે. એમનો આક્ષેપ છે કે ગણિતના ક્ષેત્રમાં અપ્રામાણિક માણસો છે અને જે સારા માણસો છે તે આ બધું મૂંગે મોઢે સહન કરે છે!

પેરેલ્માને શું કર્યું?

આ વિષય બહુ અઘરો છે, તો પણ આપણે એમાં ચાંચ ડુબાડવાની થોડી મહેનત કરીએ. આ ટૉપોલૉજીનો વિષય છે એટલે કે એમાં આકારોની અને એમનાં પરિમાણોની વાત આવે છે.ટૉપોલૉજીમાં આકારોને ‘મેનિફોલ્ડ’ કહે છે. એનાં જુદાં જુદાં પરિમાણો હોય છે અને તે રીતે એને 2-manifold, 3-manifold એવાં નામ અપાય છે.

આપણે ગૅલ્વા વિશે અહીં અથવા અહીં વાંચ્યું.. એમાં અંતમાં ‘સેટ, ગ્રુપ અને ફીલ્ડ’ વિભાગ છે, જેમાં રેલના પાટાનો ફોટો અને એના વિશેની ચર્ચા છે, તે જોઈ લેશો તો આગળ વધવાનું સહેલું થઈ જશે. એમાં બધાં બિંદુઓ (સેટના બધા ઘટકો)ને એક સ્થળે કેન્દ્રિત કરવાની વાત છે. વાસ્તવમાં ત્રિપરિમાણી દૃશ્ય છે તે ફોટામાં દ્વિપરિમાણી બની જાય છે તે આપણે જોયું. બધા પદાર્થને આકાર હોય છે અને એનાં પરિમાણ પણ હોય છે. દાખલા તરીકે, એક બિંદુ શૂન્ય-પરિમાણી છે, બે બિંદુઓને જોડો એટલે રેખા મળે જે એક-પરિમાણી છે. હવે બે સમાંતર રેખાઓને જોડો એટલે એક દ્વિપરિમાણી ચતુષ્કોણ મળે. આવા બે સમાંતર ચતુષ્કોણોને જોડો તો ત્રિપરિમાણી ઘન આકાર (ક્યૂબ) મળે. આવા બે સમાંતર ક્યૂબને જોડો તો ચતુષ્પરિમાણી ટેસરૅક્ટ (એટલે કે હાઇપર ક્યૂબ) મળે. બાજુમાં આપેલી આકૃતિ જુઓ. પણ, કહેવાની જરૂર નથી કે અહીં તો તમારા ટીવી સ્ક્રીન પર તો બધું બે પરિમાણમાં જ છે! આમ બધા ઘટક ભેગા થઈ ગયા છે!

માત્ર આવા આકાર જ નહીં, દાખલા તરીકે દડો લઈએ તો એ પણ આકાર જ છે. એ હાથમાં લઈ શકાય એવો ઘન પદાર્થ તો છે પણ એની સપાટી દ્વિપરિમાણી છે. સપાટીને સ્ફીઅર (spehere) કહે છે અને દડાની સપાટી 2-sphere કે દ્વિપરિમાણી છે. ટૉપોlલૉજીમાં બધું સ્ફીઅરમાં ફેરવી નાખવાનું છે. એટલે એના બધા ઘટક એકબીજા સાથે સંકળાયેલા હોવા જોઈએ. .ગોળામાં બધા ઘટક એકબીજા સાથે સંકળાયેલા હોય છે એટલે એનો આકાર બદલી નાખીએ તો પણ એમાંથી બધા ઘટક જોડાયેલા હોય તેવો આકાર મળે.

પરંતુ હવે આપણે જાણીએ છીએ કે ટૉપોલૉજી એ આકારોનું શાસ્ત્ર છે. એટલે એ આકારો પરનાં બિંદુઓનો સંબંધ પણ એમાં જ આવી જાય. આકારો બે, ત્રણ કે ચાર અને તેથીય વધુ પરિમાણોમાં હોઈ શકે. એ વાત જુદી કે આપણે સામાન્ય માણસો ત્રણથી વધુ પરિમાણોની કલ્પના નથી કરી શકતા. આકારની ટૉપોલૉજીની સમજણ ( કે વ્યાખ્યા) રસપ્રદ છે.

એક દોરીથી વર્તુળ બનાવો કે ચોરસ, એને માટે બન્ને એક જ છે. અહીં માત્ર રેખાથી બનાવેલી આકૃતિઓ દેખાડી છે. બે પરિમાણના આ ચિત્રના પહેલા ત્રણ આકાર ટૉપોલૉજીની દૃષ્ટિએ એક જ ચિત્ર છે. પરંતુ ચોથો આકાર જુદો ગણાશે. એ આકાર અને અંગ્રેજી અંક 8 એક જ વાત છે.

બે પરિમાણની જેમ ત્રણ પરિમાણ ( ૩- dimension અથવા 3-manifold) માં ઘન અને ગોળો એક જ ચીજ છે. એક રિંગમાં વચ્ચે છેદ હોય છે. અંગ્રેજીના 8માં પણ બે રિંગ જોડાયેલી છે. એટલે એ બન્ને સ્ફીઅર નથી. આમ સ્ફીઅર સિવાયના બીજા આકારો (space)માં એ ગુણધર્મ નથી કે એના ઘટકો એકબીજામાં ભળી જાય.. આ વાત બરાબર સમજવા માટે એક હૂ્ક લગાડેલો દડો લો અને હૂકમાંથી બાંધીને દડાની ફરતે દોરી વિંટાળો. પછી એને ધીમે ધીમે નીચે સરકાવી દો અને દડાથી અલગ કરી દો. હવે તમારા હાથમાં દડાના આકારનો ગાળિયો છે. એના બન્ને છેડાને ખેંચશો તો છેવટે હૂક પર એની ગાંઠ વળી જશે. સમજી લો કે આખો દડો એ ગાંઠમાં સમાઈ ગયો! રિંગમાં એવું નહીં થઈ શકે. એમાં વચ્ચેનો છેદ આડે આવશે. આ આકૃતિથી એ વાત વધારે સ્પષ્ટ થશે.

હવે આપણે આપણી મનગમતી વાનગીઓને ટૉપોલૉજીની રીતે જોઈએ.

દુધના માવામાંથી વિવિધ આકારના પેંડા બને તે તો આપણે જાણીએ છીએ. માનો કે લાડુના આકારના પેંડા પર ચોકલેટ ક્રીમનું વર્તુળ દોરો. એને નાનું કરતા જાઓ તો છેવટ એક બિંદુ રૂપે ક્રીમ તમારા હાથમાં આવશે. જો આવી આકૃતિ દોરી શકો તો એ ૧- મૅનિફોલ્ડ છે.

આથી ઉલટું, મેદુવડા પર આવું નથી કરી શકાતું. એમાં આપણે વચ્ચે કાણું પાડીએ છીએ, એટલે ટૉપોલૉજી તેને જુદો ‘મૅનિફોલ્ડ’ માનશે.

પેરેલ્માને પોયેંકાર્રેના કન્જેક્ચરની સાબિતી આપી.

ત્રિપરિમાણી સ્પેસની અંદર જ 2-sphere હોય છે! તો ચતુષ્પરિમાણી સ્પેસની અંદર ત્રિપરિમાણી પદાર્થ (3-sphere) હોય તેની સાથે પણ એવું થઈ શકે છે? આકારનાં પરિમાણ તો ઘણાં હોઈ શકે. અષ્ટ-પરિમાણી સ્પેસમાં 7-sphere, સપ્તપરિમાણી સ્પેસમાં 6-sphere વગેરે. આ બધાંનો ઉકેલ તો ૧૯૬૦માં આવી ગયો હતો, અને ૧૯૮૨માં પંચપરિમાણી સ્પેસમાં 4-sphereની સમસ્યાનો પણ જવાબ મળી ગયો હતો. હેમિલ્ટને એનો જવાબ શોધી કાઢ્યો હતો. હવે પેરેલ્માને એમાં સુધારા સાથે એને પરિપૂર્ણ રૂપ આપ્યું છે. આથી આ ઉકેલને હેમિલ્ટન-પેરેલ્માન ઉકેલ કહે છે.પેરેલ્માને કઈ રીતે કર્યું, એ રસપ્રદ છે પણ વિસ્તાર થઈ જવાનો ડર છે એટલે છોડી દઉં છું.

સામાન્ય માણસ માટે શોધનો અર્થ શો?

ગણિતમાં થયેલી શોધોની સામાન્ય માણસ પર કશી સીધી અસર નથી થતી. આવી શોધને સમજવામાં જ ઘણી વાર વર્ષો લાગી જતાં હોય છે.તે પછી એને લગતો સિદ્ધાંત સમજી શકાય એવી ભાષામાં ઘડાય છે. પોયેંકાર્રેનો કન્જેક્ચર સાચો છે કે નહીં તે નક્કી થતાં સો વર્ષ થયાં! પરંતુ એ સિદ્ધાંત ઘડાઈ જાય તે પછી એ વિજ્ઞાનમાં પ્રવેશ કરે છે અને ત્યાં કામયાબ થયા પછી એ એટલો સામાન્ય બની જાય છે કે એના આધારે ટેકનૉલોજી વિકસે છે. એટલે આજે આપણા જેવા સામાન્ય લોકોને સવાલ થાય કે પોયંકાર્રેએ કર્યું તેનું અને પેરેલ્માને એને સાચું સાબીત કરી દીધું તેનું આપણને કામ શું? આનો જવાબ એક વનસ્પતિશાસ્ત્રીના અનુભવમાંથી મળે છે.એને અચાનક નવી જાતની જૈવિક પ્રક્રિયા હાથ જોવા મળી. તો રોમાંચિત થઈ ગયો અને હવે આગળ શું થઈ શકે તે કહેવા લાગ્યો. એના એક વ્યવહારિયા મિત્રને કશું સમજાયું નહીં. એણે પૂછ્યું, “પણ કામનું શું?” વૈજ્ઞાનિક અકળાયો અને એણે સામો સવાલ કર્યોઃએમ તો તમે પણ શું કામના છો?”

પોયેંકાર્રેની ફિલસુફી

પોયેંકાર્રે ગણિતના ફિલોસોફર હતા. એ માનતા કે તર્ક સાબીત કરી શકે, નવું શોધી શકે. એમને અંતઃસ્ફુરણા પર બહુ વિશ્વાસ હતો. ગણિતની આગેકૂચમાં તર્ક કરતાં અંતઃસ્ફુરણાએ વધારે પ્રબળ ભૂમિકા ભજવી છે એમ એ માનતા અને પોતાની સિદ્ધિઓ માટે એમણે દાખલા આપ્યા છે કે એમને અમુક વિચાર કેમ મગજમાં ઝબક્યો – અને તે પછી એમણે માત્ર કાગળ પર ઉતારવાનું રહેતું. એમનાં અંતિમ વર્ષોમાં ગણિતની ટેકનિકલ બાજુ છોડીને સર્વસાધારણને સ્પર્શે એવું લખતા થઈ ગયા હતા. એમનાં પુસ્તકોની સસ્તી આવૃત્તિઓ છોકરા-છોકરીઓ હરતાંફરતાં વાંચતાં રહેતાં, તો બીજી બાજુ એ જ પુસ્તકની મુખ્ય આવૃત્તિ મોટા મોટા વિદ્વાનોમાં ચર્ચાનો વિષય બની રહેતી.

ખરેખર તો એમનો સર્જનશીલ સમય ૧૮૭૮થી એટલે કે ૨૪ વર્ષની ઉંમરથી શરૂ થયો અને ૧૯૧૨માં એમનું મૃત્યુ થયું ત્યાં સુધી ચાલુ રહ્યો. આ દરમિયાન એમણે જે કંઈ પ્રદાન કર્યું તે બહુ મૌલિક અને મહત્ત્વનું રહ્યું છે.

0-0-0

Mathematicians – 8 – Évariste Galois

(ગૅલ્વા ફ્રેન્ચ નામ છે અને એનો સ્પેલિંગ Galois થતો હોવાથી આપણા દેશમાં નામનો ઉચ્ચારગૅલોઇસખોટી રીતે રૂઢ થઈ ગયો છે. oisનો ઉચ્ચારવાથાય છે. આથી અહીં મેં દુનિયા બોલે છે તેમગૅલ્વા રાખ્યું છે. ફ્રેન્ચમાં આવા ઘણા શબ્દો છે

દીપક ધોળકિયા).

ગયા મહિને આપણે નીલ્સ આબેલની ઝળહળતી,પણ ટૂંકી કારકિર્દી વિશે જાણ્યું. આજનો આપણો હીરો છે, એવરિસ્તે ગૅલ્વા. એ ગણિતની દુનિયાનો પણ હીરો છે. એનું મૃત્યુ માત્ર ૨૦ વર્ષની ઉંમરે થયું. ગણિતજગતના આકાશમાં તેજપુંજ જેવા તારાની જેમ ચમકીને એ થોડા વખતમાં અલોપ થઈ ગયો પરંતુ એના પ્રકાશથી આજે પણ ગણિતજગત આલોકિત છે. આ વીસ વર્ષનો છોકરો ખરેખર, કોઈ પણ વીસ વર્ષના છોકરા જેવો જ હતો. એ કંઈ ચોપડીમાં મોઢું ઘાલીને ઘરમાં ઘૂસીને બેસનારો છોકરો નહોતો. એણે બધી જાતનાં અળવીતરાં કર્યાં, જે કોઈ પણ વીસ વર્ષનો છોકરો કરે; અને એમાં જ પોતાના જીવનથી હાથ ધોઈ બેઠો. ઈ. ટી, બેલ અકળાઈને લખે છે કે નૈસર્ગિક પ્રતિભા અને એટલી જ પ્રખર મૂર્ખતાનો સમન્વય ક્યાંય જોવો હોય તો ગૅલ્વાનું જીવન જૂઓ! આ ટૂંકા પણ તેજોમય જીવનની આજે વાત કરીએ. clip_image001

જીવનની શરૂઆતનાં વર્ષો

૨૫મી ઑક્ટોબર ૧૮૧૧ના પૅરિસ પાસેના એક ગામમાં નિકૉલસ-ગાબ્રિયેલ ગૅલ્વાના ઘરે ઍવરિસ્તેનો જન્મ થયો. પિતા નિકોલસ દાર્શનિક અને સમાજના અગ્રગણ્ય નાગરિક હતા, એ રાજાશાહીના પ્રખર વિરોધી અને વ્યક્તિસ્વાતંત્ર્યના હિમાયતી હતા.

૧૮૧૪માં નેપોલિયન છ રાષ્ટ્રોના મોરચા સામે પરાજિત થઈ ગયો અને એને એક સંધિ હેઠળ ફ્રાન્સના સમ્રાટ પદેથી હટાવીને ઇટલીના ઍલ્બા ટાપુ પર મોકલી દેવાયો હતો.તે સાથે સાથી રાષ્ટ્રોએ ફ્રાન્સમાં મૂળ રાજાશાહીની પુનઃસ્થાપના કરી. પરંતુ સંધિની અવગણના કરીને નેપોલિયન ૧૮૧૫માં સો દિવસ (લે સાઁ ઝુર) માટે ફ્રાન્સ આવ્યો અને સત્તા સંભાળી લીધી. તે પછી વૉટર્લૂમાં એનો પરાજય થયો અને એને સેન્ટ હેલેના ટાપુ પર તરીપાર કરવામાં આવ્યો. એવરિસ્તેના પિતા નિકોલસ-ગાબ્રિયેલ આ ‘સો દિવસ’ દરમિયાન મેયર પણ બન્યા. જો કે તે પછી લૂઈ અઢારમાનું શાસન શરૂ થયું ત્યારે પણ એમણે વફાદારીથી નોકરી કરી. આ ઘરમાં એવરિસ્તેના જીવનનાં પ્રથમ ૧૧ વર્ષ તો આનંદથી વીત્યાં,

એવરિસ્તેને રાજાશાહીનો વિરોધ પિતા તરફથી વારસામાં મળ્યો હતો. એ જ રીતે પિતાને કવિતાઓ લખવાનો પણ શોખ હતો. એવરિસ્તે પણ કુટુંબના પ્ર્સંગોએ કવિતાઓ રચીને સંભળાવતો. માતા પણ સ્વતંત્ર સ્વભાવની, રાજાશાહીના જુલમોની વિરોધી હતી. આમ એવરિસ્તેને ગણિત મા અથવા બાપ તરફથી મળ્યું હોય એમ નથી, એ એનું પોતાનું જ હતું.

૧૨ વર્ષની ઉંમર સુધી તો માતા જ એની શિક્ષક હતી. તે પછી એવરિસ્તેને શાળાએ મોકલવામાં આવ્યો. એવરિસ્તેએ રાજાશાહી અને ક્રાન્તિના સમયના અત્યાચારોની વાતો બહુ સાંભળી હતી, પણ અહીં વિદ્યાર્થીઓ પર નજર રાખનાર એક શિક્ષકની ક્રૂરતા એણે નજરોનજર જોઈ. જો કે એની માતાની તાલીમને લીધે એનો અભ્યાસ સારો ચાલતો હતો અને એને ઇનામો પણ મળતાં રહ્યાં. પરંતુ શાળાના અનુભવોને કારણે એનામાં ન્યાયવૃત્તિએ બહુ મજબૂત મૂળિયાં નાખ્યાં.

ગણિત તરફ

શાળાના બીજા વર્ષથી સાહિત્યમાં રસ ઓછો થવા લાગ્યો અને ગણિત તરફ મન વળવા લાગ્યું. એનું પરિણામ ખરાબ આવ્યું. સાહિત્યમાં ખરાબ માર્ક્સ આવતાં એને પાછલા ધોરણમાં ઉતારી મૂકવામાં આવ્યો. એ વખતે ગણિત તો એક વધારાના વિષય જેવું હતું. ગૅલ્વા જેમ તેમ પાસ થઈ ગયો. એવામાં એના હાથમાં લેઝેન્દર (Legendre)ની ભૂમિતિ આવી ગઈ, કોઈને પણ એ બરાબર સમજવામાં બે વર્ષ તો લાગે જ, પણ ગૅલ્વાને એમાં રસ પડ્યો અને નવલકથા વાંચતો હોય તેમ ચોપડીના પહેલા પાનાથી છેલ્લા પાના સુધી એણે એકીસાથે આખી ચોપડી પૂરી કરી નાખી. પરંતુ બીજગણિત માટે એને સખત નફરત હતી. પાઠ્યપુસ્તકની ચોપડી હાથમાં આવતાં જ એણે જોઈ નાખી અને ફેંકી દીધી. એમાં સર્જનાત્મક ગણિતનો અંશમાત્ર એને જોવા ન મળ્યો. વર્ગમાં શીખવાડાતું બીજગણિત એની બુદ્ધિપ્રતિભાને પડકારતું નહોતું.

લેઝેન્દરની ભૂમિતિનો પરિચય તો એને થઈ જ ગયો હતો. એને સમજાઈ ગયું હતું કે સર્જક પ્રતિભા એટલે શું! એટલે એણે બીજગણિતમાં પોતાની રીતે કામ કરવાનું શરૂ કર્યું. એણે એના વખતના પ્રખર ગણિતજ્ઞ લૅગ્રાન્જને વાંચવાનું શરૂ કર્યું. તે પછી વારો આવ્યો આબેલનો. આટલું વાંચી નાખ્યા પછી વર્ગમાં શીખવાડાતું ગણિત એને તુચ્છ લાગતું. એની મુશ્કેલી એ હતી કે એ બધું મગજમાં જ કરતો, અને શિક્ષકોનો આગ્રહ રહેતો કે એ વિગતવાર લખે. ગૅલ્વા માટે એ અસંભવ હતું. પરંતુ આ બધાને કારણે એના વિશે શિક્ષકો અને સાથી વિદ્યાર્થીઓમાં અજબગજબના અભિપ્રાય બનવા લાગ્યા. એક શિક્ષકે તો કહ્યું કે એને મૌલિક હોવાનો જબરો વહેમ છે. એની માતાને પણ લાગતું કે છોકરો વિચિત્ર થઈ ગયો છે.

૧૬ વર્ષની ઉંમરે ગૅલ્વા ગણિતમાં મૂળભૂત સંશોધનોમાં આગળ વધી ચૂક્યો હતો, પણ લખવાનું નામ ન મળે. એનામાં બહુ આશા રાખનાર એક શિક્ષકનો સતત આગ્રહ રહેતો કે એ કંઈ વ્યવસ્થિતપણે કામ કરે. પણ આ સલાહ ગૅલ્વાએ કદી કાને પણ ન ધરી.

નામાંકિત ગણિત શાળાની પ્રવેશ પરીક્ષામાં નાપાસ!

આ જ મિજાજ સાથે એણે ફ્રાન્સની પ્રખ્યાત ગણિત સંસ્થા પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશની પરીક્ષા આપી. ફ્રાન્સના મોટા ભાગના ગણિતશાસ્ત્રીઓની આ માતૃસંસ્થા હતી. ગૅલ્વાનો ઇંટરવ્યુ લેવાયો.અહીં પણ એણે બધું કામ મગજમાં કર્યું. એની આ પ્રતિભાને સમજે એવો કોઈ પરીક્ષક નહોતો. ગૅલ્વા નાપાસ થયો! ગૅલ્વાએ પોતે પણ કહ્યુંઃ લોકો મને સમજતા નથી, હું તો જંગલી છું!”

૧૮૨૮માં એ ૧૭ વર્ષનો હતો ત્યારે એને સમજી શકનાર એક શિક્ષક, લૂઈ-પોલ ઍમિલી રિચર્ડ મળી ગયા. એ પોતે બહુ વિદ્વાન નહોતા, પણ પોતાના વિદ્યાર્થી માટે જે કંઈ ભોગ આપવો પડે તે આપ્યો. રિચર્ડ માનતા કે એમના હાથમાં સોંપાયો છે તે વિદ્યાર્થી “ફ્રાન્સનો આબેલ” છે. ગૅલ્વા જે ગણિતના સવાલોના મૌલિક જવાબો આપતો તે રિચર્ડ ગર્વ સાથે ક્લાસમાં શીખવાડતા. એમણે જ કહ્યું કે ગૅલ્વાને ઇંટરવ્યુ વિના જ પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશ આપવો જોઈએ. રિચર્ડ ખોટા નહોતા. એ ઉંમરે ગૅલ્વા સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં જે મૌલિક પ્રદાન કરવા લાગ્યો હતો અને એને સમજવાનું કામ તે પછીની એક સદી સુધી પણ પૂરું નહોતું થયું.

કોશી!

૧૮૨૯ની પહેલી માર્ચે ગેલ્વાએ પોતાનો પહેલો અભ્યાસપત્ર પ્રકાશિત કર્યો, એ Continued Fraction વિશે હતો. પરંતુ ગેલ્વાની ખ્યાતિનું કારણ એ નથી. એણે પોતાનું સર્વશ્રેષ્ઠ કામ સાયન્સ ઍકેડેમી માટે બચાવી રાખ્યું હતું. સાયન્સ ઍકેડેમી કોઈ અભ્યાસપત્ર વિશે નિર્ણય લેતી ત્યારે એ વખતના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કોશી (Cauchy) પાસે સમીક્ષા કરાવતી. કોશીએ ગૅલ્વાનો અભ્યાસપત્ર ઍકેડેમી સમક્ષ રજુ કરવા માટે વચન આપ્યું હતું. ગૅલ્વાને બીજું શું જોઈએ?

પરંતુ આપણે ગયા મહિને આબેલની વાત કરતી વખતે કોશીને મળી ચૂક્યા છીએ. આબેલનો અભ્યાસપત્ર કોશી ઘરે વાંચવા લઈ ગયો હતો અને પછી કહી દીધું હતું કે એ અવળે હાથે મુકાઈ ગયો છે, અને મળતો નથી. ગૅલ્વાની સાથે પણ એવું જ થયું. એનો અભ્યાસપત્ર રજૂ કરવાનું કોશીને યાદ જ ન રહ્યું, એટલું જ નહીં. લેખકે લખી આપેલી પ્રસ્તાવના એણે ખોઈ નાખી!

ગૅલ્વાને માટે આ મોટો આઘાત હતો. પરિણામ એ આવ્યુંં કે ઍકેડેમીઓ અને ઍકેડેમિશિયનો માટે – અને આવા લોકોને માથે ચડાવનારા સમાજ માટે – ગૅલ્વાના મનમાં ઘૃણા પેદા થઈ ગઈ.

ડસ્ટરનો પહેલી અને છેલ્લી વાર સદુપયોગ!

૧૮ વર્ષની ઉંમરે ગૅલ્વાએ પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશ માટે ફરી પરીક્ષા આપી. ઈ. ટી. બેલ લખે છે કે જે લોકો ગૅલ્વાની પેન્સિલની અણી કાઢી આપવા લાયક નહોતા એનો ઇંટરવ્યુ લેવા બેઠા. મૌખિક ઇંટરવ્યુ વખતે એક સાહેબે એને અમુક સવાલો પૂછ્યા. ગૅલ્વાને લાગ્યું કે આ માણસ કંઈ જાણતો નથી અને સમજશે પણ નહીં. એનું લોહી ઊકળી ઊઠ્યું. આમ તો એ બધું કામ મગજમાં જ કરતો, પણ કદાચ પહેલી વાર એણે ડસ્ટરનો ઉપયોગ કર્યો. હઠે ચડેલા સાહેબના સવાલો સાંભળીને એનું માથું ફાટવા લાગ્યું, એણે ડસ્ટર ઉપાડ્યું અને સાહેબના મોઢે મારી દીધું. ગૅલ્વા ફરી વાર પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશની પરીક્ષામાં નાપાસ થયો!

ફરી ઍકેડેમીમાં

૧૮૩૦ના ફેબ્રુઆરીમાં ગૅલ્વાએ ત્રણ સંપૂર્ણ મૌલિક પેપર તૈયાર કર્યાં. આ વખતે આ પેપર સહીસલામત સાયન્સ એકેડેમીના સેક્રેટરી સુધી પહોંચી ગયાં. ગૅલ્વાને આશા હતી કે આ વખતે એની પસંદગી થઈ જશે. સેક્રેટરી એ વાંચવા પોતાને ઘરે લઈ ગયો. ફરી નસીબ આડે આવ્યું અને સેક્રેટરીનું મૃત્યુ થઈ ગયું. તે પછી એ ત્રણ પેપરોનું શું થયું તે આજ સુધી જાણી શકાયું નથી. પહેલી વાર કોશીનો કડવો અનુભવ થયો તે પછી ફરી આવું થયું તેને માત્ર અકસ્માત માનવા ગૅલ્વા તૈયાર નહોતો. એના મનમાં ભારેલો અગ્નિ ફાટી નીકળવા થનગનતો હતો.

ગૅલ્વાનો વિદ્રોહ ભડક્યો

૧૮૩૦માં ગેલ્વા પોતાનું ગણિત શીખવાડવા કોચિંગ ક્લાસ ચલાવવાના પ્રયત્નો કરતો હતો પણ એને એક પણ વિદ્યાર્થી ન મળ્યો. એ વખતે ક્રાન્તિનું પહેલું રણશીંગું વાગ્યું તેથી ગૅલ્વાનું મન પ્રસન્ન થઈ ઊઠ્યું. એ નૅશનલ ગાર્ડ્ઝના આર્ટિલરી યુનિટમાં જોડાઈ ગયો. એના બધા રાજાવિરોધી રીપબ્લિકન મિત્રો પણ એ જ યુનિટમાં હતા. આમ એ ગણિતથી થોડો દૂર તો થઈ ગયો, પણ પૂરેપૂરો દૂર નહીં, એણે આ દિવસોમાં જ એક પેપર લખ્યું, જે આજે ‘ગૅલ્વાની થિયરી’ તરીકે ઓળખાય છે. સાયન્સ ઍકેડેમીએ આ પેપરની સમીક્ષા કરવાનું કામ પોઇસોંને સોંપ્યું. ગુરુત્વાકર્ષણ, વિદ્યુતશક્તિ અને ચુંબકત્વની ગાણિતિક થિયરીઓ પોઇસોંએ જ આપી છે. આવા મહાન ગણિતશાસ્ત્રીએ ગૅલ્વાનું પેપર જોઈને ઉડાઉ રિપોર્ટ આપી દીધો કે પેપર “સમજાય તેવું નથી”. બસ, ગૅલ્વા માટે ઊંટની પીઠે તરણા એવું થયું. એણે પોતાની હતાશા પ્રગટ કરીઃ લોકોને ઉત્તેજિત કરવા માટે લાશની જરૂર પડશે તો હું મારી લાશ દાનમાં આપીશ.”

લૂઈ ફિલિપ માટે…!”

દરમિયાન શાહી ફરમાન દ્વારા નૅશનલ ગાર્ડ્ઝનું આર્ટિલરી યુનિટ બંધ કરી દેવાયું. ૧૮૩૧ના મે મહિનાની નવમી તારીખે આના વિરોધમાં બધાએ સાથે મળીને એક ભોજન ગોઠવ્યું. સૌએ ૧૭૮૯, ૧૭૯૩ અને ૧૮૩૦ની ક્રાન્તિનાં ગુણગાન કર્યાં. ગૅલ્વા પણ એના માટે ‘ટૉસ’ બોલ્યો. હાથમાં જામ અને એણે બોલવાનું શરૂ કર્યું. એ વખતે એના ખિસ્સામાંથી એક છરો બહાર ડોકાતો હતો. ગૅલ્વાએ જામ ઊંચો કરીને કહ્યું લૂઈ ફિલિપ (રાજા) માટે!” એના સાથીઓ સમજ્યા કે એ રાજાનાં વખાણ કરે છે. એમણે સીટીઓ વગાડીને એને બેસાડી દીધો. પછી એમણે છરો જોયો તો સમજ્યા કે ગૅલ્વા તો રાજાનું ખૂન કરવાનો સંકેત આપે છે! આથી સૌ રાજી થઈ ગયા. એ જ વખતે ઍલેક્ઝાન્ડર ડૂમા જેવા લેખકો અને બીજા નામાંકિત લોકો બહારથી પસાર થતા હતા. ગૅલ્વાના મિત્રે આ જોઈને એને બેસી જવા કહ્યું, પણ ગૅલ્વા તો એટલી વારમાં હીરો બની ગયો હતો. એને લઈને બધા જાહેર રસ્તા પર આવી ગયા અને આખી રાત નાચગાન કરતા રહ્યા. બીજા દિવસે, વહેલી સવારે જ ગૅલ્વાની ધરપકડ કરી લેવામાં આવી.

કોર્ટમાં કેસ ચાલ્યો ત્યારે ગૅલ્વા ન્યાયાધીશ પ્રત્યે સંપૂર્ણ અનાદર દેખાડતો રહ્યો. શું થશે તેની પરવા વિના એણે બધી જાતના અન્યાય વિરુદ્ધ બયાન આપ્યું. આના પછી એ જ નક્કી કરવાનું હતું કે ગૅલ્વાએ જે કર્યું તે જાહેર સ્થળ હતું કે કોઈ ખાનગી. જ્યૂરી અને જજે ગૅલ્વાની યુવાનીને ધ્યાનમાં લઈને એને નિર્દોષ ઠરાવ્યો. ગૅલ્વા ઊઠ્યો, ટેબલ પર પુરાવા તરીકે એનો છરો રાખ્યો હતો તે ઉપાડ્યો, બંધ કર્યો, ખિસ્સામાં નાખીને કોઈની સામે જોયા વિના રુઆબભેર બહાર નીકળી ગયો!

અંતે જેલવાસ!

પરંતુ એની આઝાદી બહુ ન ટકી. એક જ મહિનામાં રીપબ્લિકનો ફરીથી એક મોટા આંદોલનની તૈયારી કરતા હતા. પોલીસના રેકર્ડમાં એ વખતે ગૅલ્વા એક ‘ખૂંખાર ક્રાન્તિકારી’ તરીકે નોંધાયેલો હતો. એટલે એ્ને પહેલાં જ અટકાયતમાં લઈ લેવાયો. પકડાયો ત્યારે ગૅલ્વા સંપૂર્ણ શસ્ત્રસજ્જ હતો, એ પણ ખરું; આમ છતાં એણે અટકાયત વખતે કશું જ ન કર્યું અને તરત કાબુમાં આવી ગયો. આમ એની સામે કંઈ કેસ તો બનતો નહોતો. બે મહિનાની મહેનત પછી કંઈ આરોપો ઘડી કાઢીને એને છ મહિનાની સજા કરવામાં આવી. ૧૯૩૨ના ઍપ્રિલની ૨૯મીએ એ જેલમાંથી છૂટ્યો.

મારી પાસે સમય નથી…!”

ગૅલ્વા જેલમાં જ હતો તે દરમિયાન પ્લેગ ફાટી નીકળ્યો હતો. આવા ‘ખૂખાર ક્રાન્તિકારી’ને આવી બીમારીથી બચાવવો જરૂરી હતો. એટલે એને પૅરોલ પર છોડીને હૉસ્પિટલમાં રાખવામાં આવ્યો. અહીં એની મુલાકાત કદાચ કોઈ છોકરી સાથે થઈ, જે એને પસંદ ન પડી એટલે, અથવા કોઈ બીજા રાજકીય કારણસર, એને દ્વન્દ્વ માટે પડકાર મળ્યો એણે એ સ્વીકારી લીધો.

૩૦મી મે નક્કી થઈ. સવારે ગૅલ્વાએ એકલા જ દુશ્મન સામે લડવાનું હતું જેની ગોળી પહેલાં છૂટે તે જીતે અને બીજો મરી જાય. આખી રાત ગૅલ્વા નોટબુકમાં સમીકરણો લખતો ગયો. ક્યાંય સાબીતીઓ ન આપી. કદાચ જરૂરી લાગ્યું ત્યાં પણ સાબીતીને બદલે માર્જિનમાં લખતો ગયો – “મારી પાસે સમય નથી…!”

૩૦મીની સવારે એ અને એનો હરીફ એક વેરાન જગ્યાએ પહોંચ્યા. સામસામે ગોઠવાયા. એકબીજા સામે પિસ્તોલ તાકી. ભડાકો થયો. બીજી ક્ષણે ગૅલ્વા ધૂળમાં આળોટતો હતો. શરીરમાંથી પુષ્કળ લોહી વહેવા લાગ્યું.
લગભગ નવ વાગ્યાના સુમારે એક ખેડૂત ત્યાંથી પસાર થયો.એણે ઘાયલ છોકરાને બેભાન પડેલો જોયો. એણે ગૅલ્વાને હૉસ્પિટલ પહોંચાડ્યો. ૩૧મીની સવારે એવરિસ્તે ગૅલ્વાએ ગણિતશાસ્ત્ર્રીઓ માટે અઢળક કામ છોડીને આ દુનિયામાંથી વિદાય લીધી. એ પાછળ છોડી ગયો છે માત્ર ૬૦ પાનાંની નોટબુક જેનો સંપૂર્ણ ભેદ હજી ખૂલ્યો નથી!

૦–૦–૦

ગૅલ્વા અને ગણિત

દ્વન્દ્વની આગલી રાતે ગૅલ્વાએ એની નોટબુકમાં જે કંઈ લખ્યું – અને એની સાબીતીઓ માટે “મારી પાસે સમય નથી’ એમ લખી નાખ્યું તે બધું એવું ક્રાન્તિકારી હતું કે આજે જેને ‘વિશુદ્ધ બીજગણિત’ (Pure Algebra) કહીએ છીએ તેનો જન્મ એ અધૂરી રહેલી નોટબુકમાંથી થયો. એ જ આજે ‘ગૅલ્વાની થિયરી’ તરીકે ઓળખાય છે. આપણે એના બહુ ઊંડાણમાં તો નહીં જઈ શકીએ પણ એક નજર નાખીને આ મહાન ગણિતશાસ્ત્રીને અંજલી તો આપીએ. ખરેખર તો એના ખરાબ અક્ષરો અને કાગળ પરના ચીતરામણમાંથી ગણિતમાં યુગપ્રવર્તક સાબીત થયેલાં સૂત્રો ખોળી કાઢનાર મરજીવાને પણ દાદ આપવી જોઈએ. આ છે, ગૅલ્વાની નોટબુકનું એક પાનું!clip_image003

ગૅલ્વાના મૃત્યુ પછી દસ વર્ષે, ૧૮૪૩માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જોસેફ લ્યુવિલ (Joseph Liouville)ને ગૅલ્વાના વિચારોના મહત્ત્વનો આભાસ થયો. એના પર ત્રણ વર્ષ કામ કર્યા પછી એના વિશે એમણે એક લેખ લખ્યો. તેમ છતાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ એ બરાબર સમજી ન શક્યા. તે પછી બીજાં ચોવીસ વર્ષે બીજા એક ગણિતશાસ્ત્રી કેમિલ યોર્દાં (Camille Jordan) ગેલ્વાના વિચારોને બરાબર સમજાવી શક્યા. એમણે ૧૮૭૦માં પુસ્તક લખીને ગૅલ્વા પર પ્રકાશ પાડ્યો. આમ છતાં કામ પૂરું થયું નહોતું. તે પછી બીજાં ૮૨ વર્ષે, ૧૯૪૨માં ઑસ્ટ્રિયન ગણિતશાસ્ત્રી ઍમિલ આર્ટિન (Emil Artin)ને ગૅલ્વાની થિયરીને આધુનિક રૂપ આપવાનો યશ મળે છે. ગૅલ્વાએ ક્રાન્તિનો દરવાજો ખોલ્યો, ક્રાન્તિને મૂર્ત રૂપ તો આર્ટિને જ આપ્યું,

આજે ગૅલ્વાની થિયરી, બીજગણિત અને ટોપોલોજી (સ્થળની ભૂમિતિ)માં વપરાય છે, એટલું જ નહીં, એના આજે એટલા બધા ઉપયોગ છે કે જેની કલ્પના થોડાક જ કલાક પછી જે મરવાનો હોય તે ક્યાંથી કરી શકે?

ગૅલ્વાની થિયરી

એની સામે પડકાર હતો ‘ક્વિન્ટિક’ (પંચઘાત)નો ઉકેલ શોધવાનો. આપણે આબેલ વિશેના લેખમાં જોયું કે આબેલરુફિની થિયરમ પ્રમાણે આ બહુપદીનો ઉકેલ સરવાળા, ગુણાકાર કે મૂળ (વર્ગમૂળ/ઘનમૂળ)ના માર્ગે નથી આવી શકતો; ચાર ઘાત સુધી તો એ રીતે ઉકેલ મળે છે. આબેલે તો પંચઘાતનો ઉકેલ આવે તેનો તર્ક પણ સમજાવ્યો. ગૅલ્વાએ રૅડિકલમાં (મૂળના રૂપમાં) પંચઘાતનો ઉકેલ આપ્યો! ગેલ્વાએ દેખાડ્યું કે એક બહુપદી સમીકરણનાં જુદાં જુદાં મૂળ (વર્ગમૂળ/ઘનમૂળ) વચ્ચે એક જાતનો સંબંધ છે. આપણે જેને ‘પરમ્યૂટેશન ગ્રુપ’ કહીએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરીને એણે ક્વિન્ટિકનો ઉકેલ ‘મૂળ’માં આપી શકાય તે દેખાડ્યું.એટલું જ નહીં, એણે ચાર કે તેથી ઓછી ઘાતવાળી બહુપદીઓનો પણ એ જ રીતે ઉકેલ આવી શકે તે પણ દેખાડ્યું. તે માટે તેણે જે ગણિત વિકસાવ્યું તે ગ્રુપ થિયરી. અંકો નો અમુક સમૂહ કઈ રીતે વર્તે તેનો એમાં અભ્યાસ થાય. ખરું પૂછો તો ‘ગ્રુપ’ શબ્દનો સૌથી પહેલી વાર ઉપયોગ કર્યો ગૅલ્વાએ. એણે ગ્રુપ થિયરી અને ફીલ્ડ થિયરીને જોડી દીધી.

નવા ગણિત હેઠળ શાળામાં set theory શીખવાતી તે વાચકોને યાદ હશે. સેટને ગુજરાતીમાં ‘ગણ’ કહે છે. આમ સેટ થિયરી અંકોના અંકો સાથેના સંબંધોનું ગણિત છે.

સેટ, ગ્રુપ અને ફીલ્ડ

આપણે આગળ વધીએ તે પહેલાં સેટ, ગ્રુપ અને ફીલ્ડ શું છે તે જરા યાદ કરી લઈએ તો સમજવાનું સહેલું પડશે. આમ તો અઘરું નથી, આપણે સમાજમાં કોઈ પણ સ્તરે એ લાગુ કરી શકીએ. ધારો કે તમે કોઈ સંસ્થાના સભ્ય હો તેનું સ્વરૂપ સમજવા માટે પણ એને લાગુ કરી શકો.
સેટ એટલે એક સમૂહ. એના બધા સભ્યોના ગુણો સમાન હોય છે. દાખલા તરીકે ‘ભારત’ એક સેટ છે. એના બધા સભ્યોનો, એટલે કે આપણા સૌનો એક ગુણ સમાન છે – એટલે કે બધા ‘ભારતીય’ છીએ. આ એક સેટ થયો. હવે જે ભારતીયો મુંબઈમાં રહેતા હોય તેમનો એક સબસેટ, ‘ભારત’ સેટની અંદર જ બને. એ સબસેટના બધા સભ્યોનો એક ગુણ સમાન હોય –મુંબઈગરા!. એવો જ બીજો સબસેટ બને, ‘અમદાવાદી!

એ જ રીતે, એક સ્કૂલનો દાખલો લઈએ. એના એક વર્ગમાં ૨૫ છોકરીઓ છે. તો આ એક સેટ થયો. બીજો પણ એક સેટ લઈએ. ૨૫ ખુરશીઓ. આમ બે સેટ બન્યાઃ ૨૫ છોકરીઓનો એક સેટ, ૨૫ ખુરશીઓનો બીજો સેટ. અહીં એક સમાનતા જોવા મળશે. બન્ને સેટના સભ્યો એકબીજા સાથે કોઈ એક કાર્ય (સરવાળા કે ગુણાકાર) દ્વારા જોડાઈ શકે છે. એટલે કે એક છોકરી અને એક ખુરશી વચ્ચે સંબંધ થઈ શકે છે. આ વર્ગમાં આ બન્ને સેટો મળી જાય છે. હવે અમુક છોકરીઓ પોતાની ખુરશીઓ સાથે પાછળ ચાલી જાય, અમુક જમણી હરોળમાં આવી જાય. આવા બધા ફેરફાર થવા છતાં છોકરી અને ખુરશી વચ્ચેનો સંબંધ ૧:૧નો છે તે બદલાતો નથી.

ગ્રુપ પણ એક સેટ જ છે, જેના આંકડાની અમુક સંબંધથી વ્યાખ્યા થઈ હોય. જેમ કે કુદરતી અંકો (natural number) 0,૧,૨,૩… વગેરે, અને સરવાળો (+) મળીને એક ગ્રુપ બનાવો. સરવાળો એ એક પ્રક્રિયા (Operation) છે. તો ૧+૨ = પણ એ જ ગ્રુપનો સભ્ય હોય. જો ગ્રુપની અમુક જુદી રીતે વ્યાખ્યા થઈ હોય તો એવું પણ બને કે પ્રક્રિયા પછીનો અંક ગ્રુપનો સભ્ય ન હોય. ગૅલ્વાએ આવા ગ્રુપ બનવાના નિયમો પણ બતાવ્યા.

ઉપરની વાત સાદા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે ઘટકો એવાં હોય છે કે એ ભેગાં મળીને ત્રીજું ઘટક બનાવે. એ ગ્રુપના નિયમોનું બરાબર પાલન કરે. એ બહાર ન જાય (closure), એકબીજા પ્રત્યે સાથીભાવ રાખે (associativity), એમની ઓળખ બને (identity), અને એના પ્રતિરૂપ સાથે એ કામ કરે (invertibility). આવા બધા નિયમોને અમૂર્ત બનાવીને વ્યાપક ઉપયોગમાં લેવાય છે. ગ્રુપમાં સમ-મિતિ (Symmetry) મુખ્ય લક્ષણ હોય છે. સમ-મિતિ વિશે આબેલ વિશેના લેખમાં માહિતી આપી છે. એક ચોરસ પૂંઠાના ટુકડાને સોય પર ભેરવીને ગોળ ફેરવો. એ અટકે ત્યારે તમે કહી નહીં શકો કે જે ખૂણો ડાબા હાથની નજીક હતો તે જ પાછો મૂળ જગ્યાએ આવ્યો કે કેમ. આ સિમેટ્રી છે, બધું બધી બાજુથી સરખું.

ફીલ્ડ એટલે પણ એક સેટ. એમાં સરવાળો અને ગુણાકાર બન્ને પ્રક્રિયા થઈ શકે છે. આ પ્રકિયા એક ઘટકને સરવાળા કે ગુણાકાર દ્વારા બીજા ઘટક સાથે જોડવાની છે.

ફીલ્ડનો ઉપયોગ ટૉપોલોજીમાં બહુ થાય છે. આપણે કોઈ દૃશ્યનો ફોટો પાડીએ તો મૂળ દૃશ્ય તો ત્રિપરિમાણી હોય છે, પણ ફોટામાં દ્વિપરિમાણી જ મળે છે. કારણ કે કેમેરાના લેન્સમાંથી પસાર થતાં બધાં કિરણો એક જગ્યાએ એકત્રિત થઈ જાય છે.આવું જ આપણી આંખનું છે. આથી દૂરની વસ્તુ નાની દેખાય છે. અહીં રેલના પાટાનો ફોટો આપ્યો છે તે જુઓઃ

clip_image005

આપણે જાણીએ છીએ કે રેલના પાટા કદી મળતા નથી. પરંતુ આ ફોટો જોતાં એમ લાગે કે પાટા નજીક આવતા જાય છે અને આગળ જતાં ક્યાંક મળી જતા હશે. યૂક્લિડની ભૂમિતિ પ્રમાણે તો બે સમાંતર રેખાઓ કદી ન મળે. પરંતુ આપણી આંખ ક્ષિતિજ પર બે સમાંતર રેખાઓ મળતી હોવાનું જુએ છે! આ થઈ દૃશ્ય ભૂમિતિ (Perspective Geeometry) જે વાસ્તવિક ભૂમિતિ કરતાં જુદી છે! ગણિતશાસ્ત્રીઓ દાર્શનિકો સામે કાચા પડે એમ નથી. એમણે એનીયે ગણતરી કરીને ગણિતનો વિકાસ કર્યો છે, જે આજે આપણને રસ્તાઓ, રેલ્વે લાઇનો, પુલો બાંધવામાં કામ લાગે છે. આ ભૂમિતિ વધારે લવચીક છે કારણ કે એમાં બધાં બિંદુઓ (સેટનાં બધાં ઘટકોને) એક સ્થાને કેન્દ્રિત કરી શકાય છે. બે પાટાઓ એક થઈ શકે છે!

હવે ગૅલ્વા સામેના પડકાર પર પાછા જઈએ. એણે એક પંચઘાતી બહુપદીને ‘ફીલ્ડ’ માની! એટલે કે એણે એનાં બધાં ઘટકોને એકત્ર કરવામાં સફળતા મેળવી. આથી મૂળ રૂપે તાળો મેળવવાનું પણ શક્ય બન્યું. આ એક બહુ સાહસિક પગલું હતું અને એમાંથી ગૅલ્વાની કલ્પનાશીલ પ્રતિભા દેખાય છે.

0-0-0

Mathematicians – 7 – Niels Henrik Abel

 

imageસમય નથી મળતો. આ બહાનું આપણે ઘણી વાર સાંભળ્યું છે. પરંતુ કુદરતે જ સમય નિર્ધારિત કરી દીધો હોય ત્યારે શું થાય? આજે અને આવતા મહિને આપણે એવા બે ગણિતશાસ્ત્રીઓને મળીશું કે જેમનો સમય એમના હાથમાં નહોતો અને તેમ છતાં એમણે ગણિતના ઇતિહાસમાં અમર સ્થાન પ્રાપ્ત કરી લીધું. આજે આપણે જેનો પરિચય મેળવીશું તે છે. નીલ્સ હેનરિક આબેલ. જન્મઃ , ઑગસ્ટ ૧૮૦૨. મૃત્યુઃ , ઍપ્રિલ ૧૮૨૯.

નાની વયે આ દુનિયા છોડી જવા છતાં આબેલ, ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી Charles Hermite (ફ્રેન્ચ ઉચ્ચાર શાર્લ અર્મિત)ના શબ્દોમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાંચસો વર્ષ સુધી વ્યસ્ત રહેએટલું કામ છોડી ગયા છે.

દુઃખમય જીવન

નૉર્વેના એક ગામડામાં આબેલના પિતા ચર્ચમાં પાદરી હતા. ધર્મભીરુ અને ચારિત્ર્યવાન, બીજી બાજુ માતા ઍની મારિઈ સાઇમનસન રૂપ રૂપનો અંબાર, ભમરા એની પાછળ ભમતા અને એમાં એને આનંદ પણ મળતો. આબેલે માતાનો સોહામણો દેખાવ વારસામાં મેળવ્યો; એને પણ માતાની જેમ જીવનમાં સુખની ચાહ હતી પણ પિતા પાસેથી મળેલો પરિશ્રમનો ગુણ એ સુખ માટે પૂરતો નહોતો. બાળપણથી વળગેલી ગરીબાઈએ જીવનના અંત સુધી એનો કેડો ન મેલ્યો. નીલ્સ અને એનાં છ ભાઈ બહેનો માટે બાળપણ કપરું હતું.

૧૮૦૧થી નૉર્વે ઇંગ્લૅંડ અને સ્વીડન સાથે લડાઈઓ લડતું રહ્યું. બે લડાઈઓ વચ્ચે દેશમાં સખત દુકાળ પડ્યો. પરંતુ કુટુંબ મનમોજીલું હતું એટલે ઘરમાં હાસ્ય ઓસર્યું નહોતું. બધાં બાળકો ફાયરપ્લેસ પાસે બેસીને એકબીજાની છેડછાડ કરતાં ત્યારે નાના નીલ્સની એક નજર તો ગણિતના પુસ્તક પર જ રહેતી.

નીલ્સને ગણિતમાં પોતાની છૂપી પ્રતિભાને પિછાણવાની તક બહુ બાળપણમાં જ મળી ગઈ. થયું એવું કે ગણિતનો શિક્ષક બહુ ક્રૂર હતો અને સોટી વાગે ચમચમ, વિદ્યા આવે રમઝમ’માં માનનારો હતો. એણે એક છોકરાને એટલો માર્યો કે એ મરી ગયો. સ્કૂલ બોર્ડે એ શિક્ષકને કાઢી મૂક્યો અને નવા શિક્ષકની નીમણૂક કરી. બર્ન્ટ માઇકલ હોલ્મ્બો ( Bernt Michael Holmboe) સારા શિક્ષક હતા. એમણે ૧૫ વર્ષના નીલ્સ આબેલની પ્રતિભાને પારખી લીધી. આબેલ કરતાં એ માત્ર સાત વર્ષ મોટા હતા. હોલ્મ્બોના પ્રયાસોથી જ આબેલે ગાઉસે જે કંઈ કર્યું તે બધું આત્મસાત કરી લીધું. બન્ને ગુરુ-શિષ્ય મટીને મિત્રો બની ગયા અને આબેલના મૃત્યુ પછી ૧૮૩૯માં એમના એક પુસ્તકનું હોલ્મ્બોએ જ સંપાદન કર્યું.

૧૮૨૦માં આબેલની ઉંમર ૧૮ની હતી ત્યારે એમના પિતાનું અવસાન થઈ ગયું. હવે ભાઈબહેનોની જવાબદારી એ્મના પર આવી પડી. જો કે, આબેલનું જીવન એવું તકલીફોમાં વીત્યું હતું કે એ્મને એ બહુ મોટું કામ ન લાગ્યું. એણે પ્રાઇવેટ ટ્યૂશનો આપવાનું શરૂ કર્યું. કુટુંબનું ભરણપોષણ થાય એટલું કમાવામાં જ એમનો આખો દિવસ નીકળી જતો, પરંતુ એ્મનાં ગણિતમાં ક્રાન્તિકારી સંશોધનો પણ આ બધામાંથી સમય ચોરીને ચાલ્યા કરતાં. હોલ્મ્બોને એમની પ્રતિભામાં એટલો બધો વિશ્વાસ હતો કે એમણે એ્મને શિક્ષણના ખર્ચમાં મદદ અપાવી, એટલું જ નહીં, ગાંઠના ગોપીચંદ પણ કર્યા. પરંતુ દેશમાં ભૂખમરાની હાલત હતી. એમાં આબેલને ટીબી લાગુ પડી ગયો જેણે અંતે એનો જીવ લીધો.

ગાઉસનો ધુત્કાર

નૉર્વેમાં એ વખતે ગણિતમાં આગળ વધવા લાયક સ્કૂલ નહોતી. પરંતુ આબેલને નાણાકીય મદદ મળી જતાં એમણે ૧૮૨૩માં કૉપનહેગન જઈને ડેનમાર્કના ગણિતશાસ્ત્રીઓ સાથે સંપર્ક કર્યો. દરમિયાન ક્રિસ્ટિયાનિયા (હવે ઑસ્લો)ની યુનિવર્સિટીના સત્તાવાળાઓને આબેલના મિત્રોએ મનાવી લીધા. યુનિવર્સિટીએ નૉર્વે સરકારને આબેલને મદદ આપવા વિનંતિ કરી. યુદ્ધોને કારણે યુનિવર્સિટીની હાલત એવી હતી કે બહુ મદદ કરી શકે તેમ નહોતી. ગ્રાન્ટ મળી જશે એવી આશામાં આબેલે એક સંશોધનપત્ર પણ લખ્યો. એમને આશા હતી કે આ સંશિધન પત્ર મંજૂર રહેશે તો નૉર્વેનું નામ ગણિત ક્ષેત્રે ચમકશે. લેખ યુનિવર્સિટી પાસે પડ્યો રહ્યો અને અંતે ખોવાઈ ગયો! સરકાર હવે મદદ માટે તૈયાર તો થઈ પણ જર્મની કે ફ્રાન્સના ખર્ચ માટે નહીં, પણ યુનિવર્સિટીમાં રહીને જ ફ્રેન્ચ અને જર્મન શીખવા માટે! જો કે એક વર્ષ પછી આબેલને પૅરિસમાં આગળ અભ્યાસ માટે જવા માટે મદદ મળી. આબેલને મનમાં હતું કે પહેલાં જર્મનીમાં ગોતિંન્જેન જવું અને ત્યાં ગાઉસને મળવું, તે પછી પૅરિસ જવું.

આબેલે તે પહેલાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને ૩૦૦ વર્ષથી મૂંઝવતી એક સમસ્યાનો ઉકેલ આપી દીધો હતો. સમસ્યા એ હતી કે ઘાતાંક ૫ હોય તેવાં (Quintic) બહુપદી ફંકશનોની કોઈ એક બૈજિક (Algebraic) ફૉર્મ્યૂલા એટલે કે મૂળ (Radicals)ના રૂપમાં ( મૂળ અથવા રૅડીક્લનું ચિહ્ન √a ) નહોતી મળતી. ફૉર્મ્યૂલા હતી તે ૪ ઘાતાંક સુધી જ કામ આપતી હતી.

દાખલા તરીકે, પહેલી અને બીજી ડિગ્રી (એટલે કે એક અનામ પદની ઘાત ૧ હોય તે પહેલી ડિગ્રી, ઘાત ૨ હોય તો બીજી ડિગ્રી) અથવા ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રી (પદની ઘાત ૩ અથવા ૪ હોય)નાં પદો હોય.

સેકંડડિગ્રી કેક્વાડ્રૅટિકબહુપદી એટલે 4x2, x2 – 9, અથવા ax2 + bx + c,

થર્ડડિગ્રી કેક્યૂબિકબહુપદી એટલે –6x3 અથવા x3 – 27,

ફોર્થડિગ્રી કેક્વાર્ટિકબહુપદી એટલે x4 અથવા 2x4 – 3x2 + 9,

ફિફ્થડિગ્રી કેક્વિન્ટિકબહુપદી એટલે 2x5 અથવા x5 – 4x3x + 7.

બહુપદીને 0 સાથે સરખાવો એટલે સમીકરણ બને . જેમ કે x2-5x+ 6 = ક્વાડ્રેટિક સમીકરણ છે. સમીકરણ છોડાવવું એટલે તેનો ઉકેલ શોધવો અથવા ‘x’ ની કિંમત શોધવી. માટે ક્યારેક ફૉર્મ્યૂલા પણ વાપરી શકાય, જેમ કે ક્વાડ્રેટિક માટે ફૉર્મ્યૂલા છેઃ

clip_image002

(આનો અર્થ કે આના બે જવાબ હશેઃ એક ધન, અને બીજો ઋણ). આવી ફૉર્મ્યૂલાઓ ચાર ઘાત સુધીનાં સમીકરણ (ક્વાર્ટિક) માટે પ્રચલિત હતી.

મૂર્ધન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ પહેલાં તો એમ માનતા રહ્યા કે ક્વિન્ટિક માટે પણ ફૉર્મ્યૂલા મળી જશે. પરંતુ તે પછી એમાં ખામીઓ દેખાઈ. આમ છતાં એના ઉકેલ માટે પ્રયત્ન કરતા રહ્યા. જો કે ગાઉસ અને બીજા ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહેતા રહ્યા હતા કે ફૉર્મ્યૂલા નહીં મળે. પરંતુ શા માટે ફૉર્મ્યૂલા નહીં મળે તે જાણવાનો પ્રયાસ આબેલથી પહેલાં રૂફિનીએ કર્યો પણ એની સાબિતીઓ બરાબર નહોતી. આબેલે એનો સાચો ખુલાસો આપ્યો. આજે આ પ્રમેય (Theorem) Abel–Ruffini theorem અથવા Impossibility Theorem (અશક્યતાનું પ્રમેય) તરીકે ઓળખાય છે. પરંતુ ક્વિન્ટિકની બૈજિક ફૉર્મ્યૂલા બની જ ન શકે એવું નથી, એનો અર્થ એ કે ક્વિન્ટીક અને આગળની ઘાતો માટે દર વખતે નવી ફૉર્મ્યૂલા વાપરવી પડશે.

આબેલને આશા હતી કે ગાઉસ એ વાંચે અને સારા શબ્દો કહે તો આગ વધવાનું સહેલું થઈ જશે. પરંતુ ગાઉસના હાથમાં આબેલનો લેખ આવ્યાની સાથે એણે ફેંકી દીધો કે વળી કોઈ કચરો લઈને આવ્યો!” આબેલને આ સમાચાર મળતાં એમને આઘાત લાગ્યો. આબેલ ગોતિન્જેન ન ગયા અને ગાઉસને મળ્યા વિના જ પૅરિસ પહોંચ્યા અને દસ મહિના રહ્યા. આમ બે મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ કદી ન મળ્યા, ગાઉસે આમ કેમ કર્યું તે વિશે જુદા જુદા મત છે. પણ આબેલનું ભરયુવાનીમાં મૃત્યુ થયા પછી ગાઉસને પોતાની ભૂલ સમજાઈ હોય એમ લાગે છે, કેમ કે એમણે એક મિત્રને પત્ર લખીને આબેલના અભ્યાસપત્રો અને એનું એક પોર્ટ્રેટ માગ્યું હોવાનું જણાય છે.

આબેલને પણ ગાઉસ માટે અણગમો થઈ ગયો હતો. એમણે એક મિત્રને પત્રમાં ગાઉસનાં અગમ્ય લખાણો માટે ટકોર કરી છેઃ એક શિયાળ છે, જે પોતાની પૂંછડીથી પગલાંની છાપ ભૂંસતું જાય છે!”

ક્રેલે સાથે મુલાકાત

ગાઉસના આ વર્તાવ પછી ગોતિન્જેન જવાનો તો સવાલ જ નહોતો, એટલે આબેલ બર્લિન ગયા. ત્યાં એમની મુલાકાત એક એવી વ્યક્તિ સાથે થઈ કે જેણે આબેલની કદર કરી. એ હતા. ઑગસ્ટ લિઓપોલ્ડ ક્રેલે. એ મૂળ તો સિવિલ એંજીનિયર, પણ ગણિતમાં બહુ રસ હતો. એમનો વિચાર ગણિતમાં થતાં નવાં સંશોધનો માટે એક મૅગેઝિન પ્રકાશિત કરવાનો હતો. આબેલ એમને મળ્યા. ક્રેલે પોતે પણ લખતા. આ મૅગેઝિન આજે પણ પ્રકાશિત થાય છે અને એનું મૂળ નામ ભૂલીને ગણિતના અભ્યાસીઓ એને ‘ક્રેલે’ના નામથી જ ઓળખે છે.

આબેલ એમને મળ્યા અને ક્રેલેનાં ગાણિતિક સંશોધનો વિશે ચર્ચા કરી. વખાણ તો કર્યાં પરંતુ ભૂલો પણ દેખાડી! ૨૩ વર્ષના છોકરાના આ ‘ઉદ્દંડ” વર્તનથી ક્રેલે નારાજ થવાને બદલે ખુશ થયા. તે પછી એમણે મૅગેઝિનના પ્રકાશનની યોજના આબેલને સમજાવી. આબેલ સંમત થયા. મૅગેઝિનના પહેલા ત્રણ અંકમાં જ આબેલના ૨૨ સંશોધનલેખો પ્રકાશિત થયા.

ફરી એક આંચકો

બર્લિન પછી આબેલ પૅરિસ ગયા પણ ફ્રાન્સમાં એમના કામની પ્રશંસા કરના્રા તો ઠીક, એના વિશે જાણતા હોય તેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ બહુ ઓછા હતા. જે જાણતા હતા તે એ્મના સંશોધનપત્રનું મૂલ્ય પણ કોઈ બહુ ઊંચું નહોતા આંકતા. એ્મનું કામ બે બીજા ગણિતજ્ઞો લેઝાન્દર અને કોચીને તપાસ માટે આપવામાં આવ્યું. લેઝાન્દરે તો કહ્યું કે એને આબેલના અક્ષરો બહુ ખરાબ છે એટલે વાંચવામાં તકલીફ પડે છે. કોચી આબેલનો સંશોધન લેખ વાંચવા ઘરે લઈ ગયો અને કહી દીધું કે એનાથી લેખ અવળે હાથે મુકાઈ ગયો છે! આ લેખ આબેલના મૃત્યુ પછી બહાર આવ્યો અને ૧૮૪૧માં પ્રકાશિત થયો.

નૉર્વે પાછા ફરીને આબેલે ક્રિસ્ટિયાનિયામાં એક સ્કૂલમાં શિક્ષક તરીકે કામ શરૂ કર્યું. એ અરસામાં યુનિવર્સિટીમાં જગ્યા ખાલી પડી અને આબેલને આશા હતી કે એને મળી જશે. પરંતુ યુનિવર્સિટીએ હોલ્મ્બોને પસંદ કર્યા. હોલ્મ્બોએ કોશિશ કરી કે આબેલને એમની જગ્યાએ મૂકવામાં આવે, પણ યુનિવર્સિટીએ ના પાડી. હોલ્મ્બો ન લે તો કોઈ વિદેશીને જગ્યા આપવા યુનિવર્સિટી તૈયાર હતી, પણ આબેલ તો નહીં જ!

અને અંત

આ અરસામાં આબેલે સમીકરણના સિદ્ધાંત, એલિપ્ટિકલ ફંક્શન અને ઇંટીગ્રલ પર નવાં સંશોધનો કરી લીધાં હતાં. એમની તબીયત લથડતી જતી હતી. આબેલને ખબર હતી કે એના હાથમાં બહુ સમય નથી પરંતુ એમણે ખંતથી કામ કર્યે રાખ્યું. બીજી બાજુ બર્લિનમાં ક્રેલે પણ આબેલને યુનિવર્સિટીમાં નોકરી મળે તેવા પ્રયત્નો કરતા રહ્યા.

૧૮૨૯ની છઠ્ઠી ઍપ્રિલે આ પ્રખર ક્રાન્તિકારી ગણિતશાસ્ત્રી ૨૬ વર્ષ અને આઠ મહિનાની ઉંમરે અવસાન પામ્યો. બે દિવસ પછી, આબેલનો પરિવાર શોકમાં હતો ત્યારે ક્રેલેનો એક પત્ર મળ્યો. બર્લિન યુનિવર્સિટીએ એ્મની ગણિત વિભાગમાં પ્રોફેસર તરીકે નીમણૂક કરી હતી!

૧૯૨૯માં એમના મૃત્યુની clip_image004શતાબ્દી નિમિત્તે નૉર્વે સરકારે એમની યાદમાં ટપાલ ટિકિટોની શ્રેણી પણ પ્રકાશિત કરી હતી.

 

૨૦૦૨માં એમની દ્વિજન્મશતાબ્દીના વર્ષથી નૉર્વે સરકાર તરફ્થી આબેલ પુરસ્કાર પણ અપાય છે જેનું મહત્ત્વ નોબેલ પારિતોષિક કરતાં ઓછું નથી. ૨૦૦૭માં ભારતવંશી અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી સદામંગલમ રંગા આયંગર શ્રીનિવાસ વર્ધનને આ બહુમાન મળ્યું. ૨૦૦૮માં ભારત સરકારે એમને પદ્મભૂષણથી પણ નવાજ્યા. (અહીં)

ગણિત અને આબેલ

સૈદ્ધાંતિક ગણિતના ક્ષેત્રમાં આબેલનું પ્રદાન બહુ મહત્ત્વનું છે. હાયર મૅથના અભ્યાસીઓ આ વાત જાણતા હશે જ. ખાસ કરીને આબેલના નામે ગ્રુપ થિયરીનું એક પ્રમેય છે. આ વિષય સમજવાનું કે સમજાવવાનું સહેલું નથી, એટલે અહીં આપણે શક્ય તેટલી સાદી ભાષામાં ગ્રુપ થિયરી શું છે તે જાણીને સંતોષ માનીએ.

ગ્રુપ થિયરી

સામાન્ય જીવનમાં આપણે એક ઘટના જોઈએ ત્યારે તેના પરથી એની પાછળનો નિયમ તારવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. તર્કશાસ્ત્રની ભાષામાં આને ‘નિગમન’થી ‘વ્યાપ્તિ’ સુધી જવાની ક્રિયા કહે છે. આપણે ‘વિશેષ’ પરથી ‘સામાન્ય’ તરફ જઈએ છીએ. આ ક્રિયા મૂર્તથી અમૂર્ત તરફ જવાની છે. કોઈ અમૂર્તને મૂર્તમાંથી શોધવા માટે અમૂર્ત એવું હોવું જોઈએ કે જે સર્વ સામાન્યપણે મૂર્તનાં બધાં જ રૂપોને આવરી લે. દાખલા તરીકે, માટીનો ચૂલો અથવા માટીની ઢીંગલીનો અમૂર્ત સિદ્ધાંત માટી છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ પ્રક્રિયા ગણિત પર કરે છે. જેમ સંગીત જાણનારા શબ્દને નહીં, પણ એની પાછળના સુરને પકડે છે, તેમ ગણિતશાસ્ત્રીઓ એક સમીકરણ કે સમસ્યાને નહીં, એની અંદર છુપાયેલી રચનાને પકડવાનો પ્રયાસ કરે છે.

આબેલિયન ગ્રુપ એટલે એક સેટ. એની શરત એ કે એના બધા સભ્યોનો સરવાળો અથવા ગુણાકાર કરીએ કે એમને એકબીજા સાથે જોડીએ અથવા એમની જગ્યા બદલાવીએ તો પણ જે પરિણામ આવે તે એ સેટની બહાર ન જાય. દાખલા તરીકે, આપણે સંખ્યાઓ લઈએઃ ધન, ઋણ અને શૂન્ય (૧, ૨, ૧૪, ૬૦ વગેરે, -૧, -૨, -૧૪, -૬૦ વગેરે અને 0). હવે કોઈ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો કરોઃ ૨ + ૫ = ૭. આમ સંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતાં સંમેય સંખ્યા જ મળે છે. એ જ રીતે, ૬ + (-૪) = ૨, અથવા ૧+ (-૧) = 0. આમ આપણે સંખ્યાઓની શ્રેણીમાંથી બહાર નથી નીકળતા. આમ આ એક સ્વયંપૂર્ણ વ્યવસ્થા છે એટલે એ એક ગ્રુપ થયું. આ આબેલિયન ગ્રુપ છે.

બીજો દાખલો લઈએઃ એક ચોરસ આકારની પૂંઠાની તકતી લો. એના કેન્દ્રમાં કાણું કરીને સોય ભેરવો. હવે તકતીને ફેરવો. થોડા ચક્કર માર્યા પછ તકતી અટકે ત્યારે તમે કહી નહીં શકો કે જે ખૂણો પહેલાં ડાબી બાજુ તમારા હાથની નજીક હતો તે જ ખૂણો ફરીથી ડાબી બાજુ તમારા હાથની નજીક આવ્યો કે કેમ. આમ આ સ્થિતિ ન બદલાઈ. આને ‘Symmetry’ (સમમિતિ) કહે છે. સમમિતિની બધી સ્થિતિ સમાન હોય છે એટલે એની બધી ગતિ, એમાં થયેલા ફેરફાર પણ સમમિતિ જ છે. તમે ઘડિયાળના કાંટાની જેમ તકતી ફેરવીને સમમિતિ બનાવી હોય તેને રદ પણ કરી શકો છો. જેમ ઉપરના ઉદાહરણમાં ૧ + (-૧) = 0 કર્યું તેમ. હવે તકતીને ઘડિયાળના કાંટાથી ઉલ્ટી દિશામાં ફેરવો, બસ. આ બન્ને ‘વિશેષ’ ઉદાહરણો છે. એમાંથી ‘સામાન્ય’ તરફ જતાં નિયમ બને છે, એમાં આ ઉદાહરણો જેવી ઘટનાઓના સંદર્ભની જરૂર નથી, તેમ છતાં એ નિયમ સાચો રહે છે. આ ગ્રુપ થિયરી છે.

ગ્રુપ થિયરી ઘણી બોર્ડ ગેમ્સમાં કામ આવે છે. ઇંટરનેટ પરથી ‘Solitaire’ શોધીને ડાઉનલોડ કરી લો. એમાં ગ્રુપ થિયરી શી રીતે કામ આવે છે તે સમજવું હોય તો વધારે માહિતી અહીં મળી શકશે.

0-0-0

Mathematicians-6-Carl Friedrich Gauss

યોહાન કાર્લ ફ્રેડરિક ગાઉસ(Johann Carl Friedrich Gauss) ગણિતની દુનિયામાં કદીયે ભૂલી ન  Johann Carl Friedrich Gaussશકાય એવું નામ છે. ઈ.ટી. બેલ ( E. T. Bell) કહે છે કે આર્કિમિડીઝ, ન્યૂટન અને ગાઉસ. આ ત્રણ ગણિતના સીમાસ્તંભો છે. આર્કિમિડીઝને ગણિતમાં સૈદ્ધાંતિક રસ હતો, ન્યૂટનને ગણિતનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં કેમ કરવો તેમાં વધારે રસ હતો પણ ગાઉસ એવા હતા કે સૈદ્ધાંતિક હોય કે વ્યાવહારિક – ગણિત એમનું જીવન હતું. ગૉસને Prince of Mathematicians માનવામાં આવે છે.

અત્યંત ગરીબ પરિવારમાં એમનો જન્મ થયો. એમના દાદા બ્રુન્સવિક (જર્મની)માં માળી હતા અને માંડ માંડ પેટિયું રળતા હતા. એમના પિતાએ પણ માળી તરીકે જ કામ કર્યું. ૧૭૭૭માં કાર્લના પિતા બનવા સિવાય એમના જીવનમાં કશું જ યાદ રાખવા જેવું નહોતું. પિતાનું ચાલ્યું હોત તો નાનો કાર્લ પણ કુમળી વયે જ બાગાયતમાં લાગી ગયો હોત પણ ભણવા માટે આતુરા બાળકે પિતાના કઠોર હાથના મારની પણ પરવા ન કરી. ગાઉસના મોસાળમાં પણ ગરીબાઈ તો હતી, તેમ છતાં સ્થિતિ કંઈક સારી હતી. મામા ફ્રેડરિક વણકર હતા, પણ એમણે વણકરી માત્ર ગુજરાન માટે નહીં, કલા તરીકે પણ વિકસાવી. મામાને લાગ્યું કે ભાણેજમાં ચમક છે અને એને ભણાવવો જોઈએ. એણે બહેનને સમજાવી. ગાઉસની માતા ડોરોથિયાએ પણ શિક્ષણ પ્રત્યે પતિના અણગમાની પરવા ન કરી. કારણ કે કાર્લ બે વરસની ઉંમરે જ પોતાની બુદ્ધિશક્તિનો પરિચય આપી ચૂક્યો હતો અને એને માતા અને મામાને વિશ્વાસ હતો કે કાર્લ ભણશે તો નામ કમાશે.

જન્મદત્ત પ્રતિભા

ખરેખર થયું પણ એવું જ. એને નિશાળે બેસાડ્યો તેમાં પહેલાં બે વર્ષ તો સામાન્ય જ રહ્યાં પણ કાર્લની ઉંમર દસ વર્ષની હતી ત્યારે નિશાળમાં એક એવી ઘટના બની કે આપણે કહી શકીએ કે ગણિતના ક્ષિતિજમાં નવા સૂર્યનાં દર્શન થયાં. બધા છોકરાઓ પહેલી જ વાર અંકગણિત શીખતા હતા. શિક્ષક બટનરને શોખ હતો કે વિદ્યાર્થીઓને લાંબા સવાલો આપવા, એમને તો કોઈ ફૉર્મ્યૂલા આવડતી ન હોય, એ ગોથાં ખાતા હોય ત્યારે બટનર ફૉર્મ્યૂલાથી જરા વારમાં ઉકેલી દે. બટનરે કંઈક આ જાતનો સવાલ આપ્યોઃ ૮૧૨૯૭ + ૮૧૪૯૫ + ૮૧૬૯૩ + …….+ ૧૦૦૮૯૯. આમાં દરેક પદમાં ૧૯૮ ઉમેરો તો એના પછીનું પદ આવે છે. આવાં ૧૦૦ પદોનો સરવાળો કરવાનો હતો. જે છોકરો દાખલો કરી લે તે ટેબલ પર પોતાની સ્લેટ ઊલટી મૂકી દે. આટલો લાંબો દાખલો લખાવવાનું બટનરે પૂરું કર્યું કે બીજી જ ક્ષણે કાર્લ ઊઠ્યો અને ટેબલ પર પોતાની સ્લેટ મૂકી આવ્યો. બટનરસાહેબ મનમાં હસતા હશે કે છોકરાએ કોરી સ્લેટ મૂકી હશે. બધા છોકરાઓના જવાબ જોયા પછી છેલ્લે કાર્લની સ્લેટ આવી. એમાં એક જ આંકડો લખ્યો હતો. જવાબ સાવ સાચો હતો. બટનર પ્રભાવિત. એટલું કબૂલ કરવું પડશે કે બટનરને સમજાઈ ગયું કે આ છોકરામાં અનોખી પ્રતિભા છે. એમની બધી કઠોરતા ઓગળી ગઈ અને એમણે ગાઉસ પર વધારે ધ્યાન આપવા માંડ્યું. એણે પોતાના પૈસાથી ગાઉસ માટે ચોપડીઓ ખરીદી. દસ વરસનો ગાઉસ ચોપડીઓ હાથમાં આવતાં જ વાંચી ગયો. એની ગ્રહણશક્તિ અને તર્કશક્તિ જોઈને બટનરે કહી દીધું, છોકરાને હું કંઈ આગળ ભણાવી શકું એમ નથી.”

બટનરનો એક મદદનીશ શિક્ષક પણ હતો. એ પણ સત્તર વર્ષનો છોકરડો. એને પણ ગણિતમાં રસ. નાના ગાઉસ તરફ એ આકર્ષાયો અને બન્ને સાથે મળીને કોયડા બનાવવા અને ઉકેલવા લાગ્યા. આ મદદનીશ યોહાન માર્ટિન બાર્ટેલ્સ અને ગાઉસ જીવનભરના સાથી બની રહ્યા. બન્નેના શરૂઆતના પ્રયાસોમાંથી જ ગાઉસની ગણિતશાસ્ત્રી તરીકેની કારકિર્દીના મુખ્ય અંકુરો ફૂટ્યા.

બાર્ટેલ્સ બ્રુન્સવિકના કેટલાક આગળપડતા લોકોના સંપર્કમાં હતો. એને એમ હતું કે આવા મોટા અને પૈસાદાર માણસો પણ ગાઉસની પ્રતિભાને પિછાણે. ૧૭૯૧માં એ બ્રુન્સવિકના ડ્યૂક કાર્લ વિલ્હેલ્મ ફ્રેડરિક પાસે ગાઉસને લઈ ગયો. ડ્યૂકે એનો અભ્યાસ ચાલુ રહે તે માટે નાણાકીય મદદ આપવાની તૈયારી દેખાડી. બીજા વર્ષે ગાઉસે મૅટ્રિકની પરીક્ષા પાસ કરી લીધી.

ગાઉસ અને ભાષાઓ

એ ૧૫ વર્ષની વયે કૅરોલાઇન કૉલેજમાં દાખલ થયા ત્યારે જ એમને ભાષાશાસ્ત્રમાં રસ પડવા માંડ્યો હતો. એમણે મોટા ભાગનાં પુસ્તકો લેટિનમાં જ લખ્યાં છે અને એની ભાષા બહુ સુંદર છે. પરંતુ ત્યાર પછી યુરોપમાં રાષ્ટ્રવાદનું જોર વધ્યું અને એમણે પણ જર્મનમાં લખવાનું શરૂ કર્યું. ૧૭૯૫માં કૅરોલાઇન કૉલેજ છોડવાનો સમય આવ્યો ત્યારે ગાઉસના મનમાં ગડમથલ ચાલતી હતી કે ગણિતમાં આગળ વધવું કે ભાષાઓમાં! અને જોવાની વાત એ છે કે કૉલેજ છોડતાં પહેલાં જ ગાઉસે ‘ન્યૂનતમ વર્ગો’ (least squares) શોધી લીધા હતા, તેમ છતાં એમનું ભાષાઓ માટેનું આકર્ષણ ઓછું ન થયું. ગાઉસ આખી જિંદગી ભાષાઓ શીખતા રહ્યા. મોટી ઉંમરે મગજ કસવાની કસરત તરીકે એ ભાષાઓ શીખતા અને કહેતા કે ભાષા શીખવાથી એમનું મગજ યુવાન રહે છે. ૬૨ વર્ષની વયે એમને રશિયન શીખવાનું મન થયું. એમણે બે વર્ષમાં કોઈની પણ મદદ લીધા વિના રશિયન શીખી લીધી, એટલું જ નહીં એમના રશિયન વૈજ્ઞાનિક મિત્રો સાથે રશિયનમાં જ પત્રવ્યવહાર કરતા થઈ ગયા. એમને ગોટિન્જેનમાં મળવા આવનારા રશિયન મિત્રો કહેતા કે ગાઉસ બરાબર શુદ્ધ રશિયન બોલે છે. એમણે સંસ્કૃત શીખવાનો પણ પ્રયત્ન કર્યો પણ એ એમને ગમી નહીં.

ગણિતમાં ગાઉસનું પ્રદાન

ગણિતમાં ગાઉસનું પ્રદાન અજોડ છે. પરંતુ એ સમજવા માટે પહેલાં તો આપણા આઠમા ધોરણના ક્લાસરૂમને યાદ કરો. તમારા પણ કોઈ મનાભાસાહેબ, દાણીસાહેબ કે જોબનપુત્રા સાહેબ હતા જ ને? એ તમને દ્વિપદી સમીકરણો શીખવે છે એમ ધારી લો. એમણે બોર્ડ પર લખ્યું –

(a+b) (a+b) =(a+b)2                         = a2 + 2ab + b2

(a+b) (a+b) (a+b)             = (a+b) = a + 3a2b +3ab2 + b3

(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) = (a+b)4 = a4+ 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

સૌ પહેલાં તો xનું મૂલ્ય -1 અને +1 વચ્ચે જોઈએ. આમ કરવાથી જે સર્વસામાન્ય સૂત્ર મળે તે છે…

બીજી રીતે જોઈએ તો, જો n=-1 હોય અને x=-2 હોય તો આપણને -1= 1+2+4+8… એવી અનંત શ્રેણી મળે, જે બહુ જ વિચિત્ર છે. આથી જ શરતો લાગુ પાડવી પડે. ગાઉસને આ વાત ૧૨ વર્ષની ઉંમરે સમજાઈ ગઈ. દ્વિપદી સમીકરણો તો ચૌદમી સદીથી વપરાતાં હતાં અને ન્યૂટન, લાઇબ્નીસ, લૅગ્રાન્જ, મૅક્લૉરિન, ટેલર વગેરે બધા એનો ઉપયોગ કરતા હતા. પરંતુ લાગુ પડતી શરતોની સાબિતી આપવાનું જરૂરી નહોતું માન્યું. ગાઉસે ગણિતમાં અનંત દેખાતી શ્રેણીને કેમ કન્વર્જ કરવી, એટલે કે એને કેમ બંધ કરવી, તે ન માત્ર દેખાડ્યું, પણ તેને માટે ગાણિતિક સાબિતી આપી. આ સઘન વિશ્લેષણ સૌ પ્રથમ વાર કરીને એમણે ગણિતનું રૂપ ફેરવી નાખ્યું.

શીખતા હતા ત્યારે ખ્યાલ આવ્યો જ હશે કે આમાં એક સુંદર પૅટર્ન છે. ડાબી બાજુ જે ઘાત જોવા મળે છે એનાથી એક પદ જમણી બાજુ વધારે છે. પહેલા ઉદાહરણમાં ઘાત 2 છે તો જમણી બાજુ ત્રણ પદ છે. બીજા ઉદાહરણમાં ઘાત 3 છે તો પદની સંખ્યા ચાર છે. ત્રીજા ઉદાહરણમાં ઘાત 4 છે તો જમણી બાજુ પદ પાંચ છે. વળી દરેકમાં એક ચલ (અહીં a)ની ઘાત ઘટતી જાય છે અને બીજા ચલ (અહીં b) ની ઘાત વધતી જાય છે. પહેલા ઉદાહરણમાં ગુણક અને ઘાત સરખાં છે. બીજા ઉદાહરણમાં વચ્ચે બે જગ્યાએ ગુણક છે અને તે ઘાત જેવા જ છે. ત્રીજા ઉદાહરણમાં ગુણકવાળાં પદોમાં બીજા અને છેલ્લા પદના ગુણક સરખા છે અને એ ઘાતની બરાબર છે પણ વચલા પદના ગુણકને ઘાત સાથે x1.5નો સંબંધ છે. આમ ઘાત વધારતા જઈએ તેમ પદોની સંખ્યા હંમેશાં એના કરતાં એક વધારે રહેશે અને ઘાત આમ જ એક જગ્યાએથી ઘટતી રહેશે, તો એની સાથે સમતોલપણું જાળવી રાખવા માટે બીજી જગ્યાએ એટલા જ પ્રમાણમાં વધતી રહેશે. (a+b)5, (a+b)6 પર અખતરો કરી જૂઓ. પૅટર્ન આ જ મળશે.

જરા આગળ વધીએ. ફરીથી (a+b)2 લઈએ. હવે aને બદલે 1 મૂકીએ અને bને બદલે x મૂકીએ. આથી આપણું (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 નવું (1+x)2= 1+ 2x+ x2 બની જશે. પરંતુ અહીં તો ઘાતાંક જાણીએ છીએ. હવે એક સર્વસામાન્ય સૂત્ર બનાવવું હોય તો કેમ બનાવાય? આના માટે આપણે સર્વસામાન્ય ઘાતાંકનું પ્રતીક લેવું પડે. દાખલા તરીકે n. એટલે હવે આપણે લખશું, (1+x)n =……આની જમણી બાજુ લખવાનું કામ તો બહુ લાંબું ચાલે એમ છે!

પણ આમાં ઘાત તરીકે ધન પૂર્ણાંક (Positive Integer) લીધો છે, એટલે કે 1, 2, 3, 4, 100 વગેરે. પણ ઘાતાંક ધન પૂર્ણાંક ન હોય, અને ઋણ પૂર્ણાંક (Negative Integer) હોય અથવા અપૂર્ણાંક (Fraction) હોય તો?

માત્ર ૧૨ વર્ષની ઉંમરે ગાઉસને આ ખ્યાલ આવી ગયો કે જમણી બાજુ અનંત શ્રેણી બનશે પણ એમાં જે સરવાળો હશે તે કદી ડાબી બાજુની બરાબર નહીં થાય. આથી, આ અંતહીન શ્રેણીને અંતયુક્ત બનાવવી પડે અને એના માટે અમુક શરતો પાળવી જોઈએ.

સૌ પહેલાં તો xનું મૂલ્ય -1 અને +1 વચ્ચે જોઈએ. આમ કરવાથી જે સર્વસામાન્ય સૂત્ર મળે તે છે.. બીજી રીતે જોઈએ તો, જો n=-1 હોય અને x=-2 હોય તો આપણને -1= 1+2+4+8… એવી અનંત શ્રેણી મળે, જે બહુ જ વિચિત્ર છે. આથી જ શરતો લાગુ પાડવી પડે. ગાઉસને આ વાત ૧૨ વર્ષની ઉંમરે સમજાઈ ગઈ. દ્વિપદી સમીકરણો તો ચૌદમી સદીથી વપરાતાં હતાં અને ન્યૂટન, લાઇબ્નીસ, લૅગ્રાન્જ, મૅક્લૉરિન, ટેલર વગેરે બધા એનો ઉપયોગ કરતા હતા. પરંતુ લાગુ પડતી શરતો ની સાબિતી આપવાનું જરૂરી નહોતું માન્યું. ગાઉસે ગણિતમાં અનંત દેખાતી શ્રેણીને કેમ કન્વર્જ કરવી, એટલે કે એને કેમ બંધ કરવી, તે ન માત્ર દેખાડ્યું, પણ તેને માટે ગાણિતિક સાબિતી આપી . આ સઘન વિશ્લેષણ સૌ પ્રથમ વાર કરીને એમણે ગણિતનું રૂપ ફેરવી નાખ્યું.

યૂક્લિડની ભૂમિતિમાં શંકા

માત્ર બીજગણિત નહીં, ગાઉસને ૧૨ વર્ષની ઉંમરે જ યૂક્લિડીય ભૂમિતિમાં પણ ખામીઓ દેખાવા લાગી હતી. ૧૬ વર્ષની ઉંમરે તો એમને અ-યૂક્લિડીય ભૂમિતિ કેવી હોઈ શકે તેનો અણસાર આવી parellal-postulateગયો હતો. યૂક્લિડની ભૂમિતિના પાંચ આધારમાંથી એક Parellal Postulate કહેવાય છે. એના પ્રમાણે બે સમાંતર રેખાઓને ત્રીજી રેખા કાપતી હોય ત્યાં ખૂણા બને તે સરવાળે ૧૮૦ ડિગ્રી કરતાં ઓછા હોય તો એ રેખાઓ આગળ જઈને મળી જશે; સરવાળો ૧૮૦ ડિગ્રી કરતાં વધારે હોય તો રેખાઓ એકબીજીથી દૂર ચાલી જાય. પણ બન્ને ખૂણા ૯૦ ડિગ્રીના હોય તો એ રેખાઓ સમાંતર રહે છે.

યૂક્લિડની ભૂમિતિ બે પરિમાણવાળી સપાટી માટે છે અને બે હજાર વર્ષ સુધી એ જ ભૂમિતિ હતી. પરંતુ ગાઉસે વક્રાકાર સપાટીની ભૂમિતિ સમજાવી. આપણે પૃથ્વીના ગોળા પર બે સમાંતર રેખાઓ (રેખાંશ) દોરીએ તો એ વિષુવવૃત્ત પાસે સમાંતર હોય અને ૯૦ ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે, પણ ધુવ પાસે પહોંચતાં એ મળી જતી હોય છે. યૂક્લિડની ભૂમિતિમાં આનો જવાબ નથી મળતો.

વિવાદ

પરંતુ એમણે પોતાની અયૂક્લિડીય ભૂમિતિ પ્રકાશિત ન કરી. એક કારણ તો એ કે ગાઉસ એકસાથે ઘણા પ્રોજેક્ટો પર કામ કરતા, અને કોઈ એક પ્રોજેક્ટને ફરીથી મઠારવાનો એમને સમય નહોતો મળતો. જો કે, એમના બાળગોઠિયા ફરકસ બોયાઈને તો એમણે કહ્યું જ હતું. બોયાઈનો પુત્ર પણ ગણિતમાં સંશોધનો કરતો હતો. એણે એ પરિણામ જાહેર કરી દીધું. બોયાઈને એમ હતું કે એમના પુત્રની સિદ્ધિથી મિત્ર ખુશ થઈ જશે. પણ ગાઉસ સમજી ગયા.એમણે ટીકા તો ન કરી પણ એટલું જ કહ્યું કે એનાં વખાણ કરવાનો અર્થ એ થશે કે હું મારાં પોતાનાં વખાણ કરું છું. એમના કહેવાનો અર્થ તો બોયાઈને સમજાયો નહીં પણ ગાઉસના મૃત્યુ પછી એમની ડાયરીઓએ રહસ્ય પ્રગટ કર્યું કે અયૂક્લિડીય ભૂમિતિના ખરા શોધક તો ગાઉસ હતા.

નંબર થિયરી

તે પછીના એક વર્ષમાં સત્તર વર્ષની ઉંમરે એમણે નંબર થિયરીમાં એમના પુરોગામીઓને જે પરિણામોથી સંતોષ થયો હતો તેમનું પોસ્ટ મોર્ટમ શરૂ કરી દીધું હતું. Quadratic Reciprocity ની વિભાવના ગાઉસની દેન છે, એમણે ૧૯ વર્ષની ઉંંમર પૂરી કરતાં પહેલાં આ વિભાવના ઘડી લીધી હતી પરંતુ પોતાને જ સંતુષ્ટ કરવા માટે જુદી જુદી ૬ રીતે એમણે એના ઉકેલ શોધીને ક્વાડ્રૅટિક રેસિપ્રોસિટીને હાયર મૅથેમૅટિક્સમાં સ્થાપિત કરી દીધી.

ખગોળવિજ્ઞાન અને ગાઉસ

૧૯મી સદીની શરૂઆતના દિવસો ગાઉસના જીવનમાં મહત્ત્વના રહ્યા. ૧૭૮૧માં સર વિલિયમ હર્શલે યુરેનસનો ગ્રહ શોધી કાઢ્યો હતો. એ સાતમો ગ્રહ હતો. પરંતુ અંતરિક્ષનું નિરીક્ષણ યુરેનસ સાથે બંધ નહોતું થવાનું. મંગળ અને ગુરુ વચ્ચે પણ એક ગ્રહ હોવાની શક્યતા દેખાતી હતી. ૧૯મી સદીના પહેલા દિવસે જ્યૂસેપ્પે પ્યાત્સી ( Giuseppe Piyazee)એ મંગળ અને ગુરુ વચ્ચે હિલચાલ જોઈ. એને લાગ્યું કે એ ધૂમકેતુ હોવો જોઈએ. પણ તે પછી એ ગ્રહ હોવાનું નક્કી થયું અને એને સીરીઝ’ (Ceres) નામ આપવામાં આવ્યું. હેગલ જેવા ફિલોસોફરો માનતા હતા કે સાત કરતાં વધારે ગ્રહ હોઈ જ ન શકે. ફિલોસોફરો જે વિષયમાં સમજતા ન હોય તેમાં પણ માથું મારતા હોય અને નાક કપાવતા હોય તેવો આ બનાવ હતો. ફિલોસોફરોને મન સિદ્ધાંત સ્થાપિત થાય તેને અનુરૂપ ઘટનાઓ પણ બનવી જ જોઈએ. આમ સીરીઝની ખોજે ખગોળવિજ્ઞાનને તો બળ આપ્યું જ, ફિલોસોફીને પણ એની જગ્યા દેખાડી દીધી. i

CeresLaxmi

(સીરીઝ રોમની કૃષિદેવી છે. ભારતીય દેવીશ્રીએટલે કે લક્ષ્મીની સમરૂપ છે).

પરંતુ એ ગ્રહ એકલો નહોતો. એનું ઝૂમખું (સીરીઝ, પૅલાસ, વેસ્તા અને જૂનો) જોવા મળ્યું. એની ભ્રમણકક્ષા નક્કી કરવાનું બહુ મુશ્કેલ હતું. કારણ કે એ એવી જગ્યાએ જોવા મળ્યો હતો કે એનું નિરીક્ષણ થઈ શકતું નહોતું. ગાઉસે પોતાના મિત્ર પ્યાત્સી માટે એની ભ્રમણકક્ષાની ગણતરી કરી આપી અને બીજા વર્ષે , ગાઉસે કહ્યું હતું તે જ જગ્યાએ, સીરીઝ દેખાયો! પરંતુ આજે એને ગ્રહનું સન્માન નથી મળતું. એને વામણો ગ્રહ (Dwarf Planet) માનવામાં આવે છે, કારણ કે એ ગ્રહ નથી, ઉલ્કાઓનું ઝૂમખું છે, પણ એમાં સીરીઝ એવડો મોટો છે કે પોતાના કેન્દ્રગામી બળને કારણે ગ્રહની જેમ ગોળ બની ગયો છે. ઈ.ટી, બેલ કહે છે કે ગાઉસે સીરીઝની ભ્રમણકક્ષા શોધવામાં પોતાનો કિંમતી સમય બગાડ્યો. એમની પાસે પ્રકાશન યોગ્ય ઘણું હતું, જેના પર એ કામ કરી શક્યા હોત તેને બદલે ન્યૂટને ગણિતજ્ઞોને ખગોળપિંડોની ગતિ જાણવાનો ચસ્કો લગાડી દીધો હતો તેમાંથી ગાઉસ પણ મુક્ત ન રહી શક્યા.

તારનું મશીન!

electromagnetic telegraph machineગાઉસ સૈદ્ધાંતિક ગણિતમાં તો પોતાનું આજ સુધી ટકી રહેલું સામ્રાજ્ય સ્થાપી શક્યા, પરંતુ એનો અર્થ એ નહીં કે એમને મશીનો અને ટેકનોલૉજીમાં રસ નહોતો. એમણે અને એમના મિત્ર વિલ્હેલ્મ વેબરે સૅમ્યુઅલ મોર્સથી પણ પહેલાં ૧૮૩૩માં પહેલું ઇલેક્ટ્રોમૅગ્નેટિક ટેલિગ્રાફ મશીન બનાવ્યું હતું. આ મશીન એક બાજુથી ગાઉસની લૅબોરેટરીમાં અને ત્રણેક કિલોમીટર દૂર ગોટિન્જેન યુનિવર્સિટીમાંtelegraph dialogue વેબરની લૅબોરેટરીમાં ગોઠવેલું હતું. એના મારફતે ગાઉસ અને વેબર સંદેશાઓની આપ-લે કરતા. બન્ને એક મિનિટના ૬ શબ્દોની ઝડપથી સંદેશા મોકલી શકતા. મશીનમાં બન્ને સ્થળને જોડતો તાર હતો અને એક ગૅલ્વેનોમીટર હતું જેને વીજળીક પ્રવાહ મળતાં એની સોય હાલતી. આ વીજપ્રવાહની દિશા બદલાવવા માટે કમ્યૂટેટર પણ હતું. અહીં એની તસવીર આપી છે, તેની સાથે બન્નેએ બનાવેલા સંકેતો પણ છે.

૧૮૫૫માં ગણિતશાસ્ત્રીઓના પ્રિન્સ, અને આજના ગણિતના સમ્રાટનું અવસાન થયું.

0-0-0

iશ્રી મુરજીભાઈ ગડાએ સૂચવેલ સુધારા મુજબ આ ફકરો સુધારીને મૂક્યો છે.

Mathematicians -5- Joseph-Louis Lagrange

%e0%aa%a4%e0%ab%8d%e0%aa%b0%e0%aa%a3-%e0%aa%aa%e0%aa%b0%e0%aa%bf%e0%aa%ae%e0%aa%be%e0%aa%a3ભૂમિતિમાં આપણે કોઈ ગ્રાફ બનાવવા માગતા હોઈએ તો કેમ બનાવીએ? આપણે ધારો કે ઘન પદાર્થને દર્શાવવો હોય તો એનાં ત્રણ પરિમાણ લેવાં પડે. પરંતુ પદાર્થ ખસતો પણ હોય તેનો ગ્રાફ કેમ બનાવાય? ગ્રાફ દ્વારા એની સ્થિતિ દર્શાવી શકાય પણ એ સ્થાન બદલતો હોય તે કેમ દેખાડી શકાય? ખસવાની ક્રિયા તો સમય પણ માગી લે. આમ સમયને પણ એક પરિમાણ તરીકે લેવો પડે! એ ચોથું પરિમાણ થયું. આગળ જતાં આઇન્સ્ટાઇને સમયના ચોથા પરિમાણનો ઉપયોગ એમના સામાન્ય સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતમાં કર્યો, પણ એનો સૌથી પહેલી વાર ઉલ્લેખ કરનારા હતા. જોસેફ-લૂઈ લૅગ્રાન્જ.

જોસેફ-લૂઈ લૅગ્રાન્જજો કે એમણે આ વાત બહુ ગંભીરતાથી નહીં, માત્ર ભૂમિતિવેત્તાઓને સંતોષવા માટે કહી હતી. એમણે ૧૯ વર્ષની ઉંમરે ગ્રાફ વિના ભૌમિતિક રચનાઓ કેમ દર્શાવી શકાય તે નક્કી કરી લીધું હતું. આ એમનું મુખ્ય પ્રદાન છે. એમણે આ વિષય પર mecanique Analytique (Analytical Mechanics) પુસ્તક લખ્યું, તેની પ્રસ્તાવનામાં જ કહી દીધું કે પુસ્તકમાં ડાયાગ્રામ જોવા નહીં મળે.” ગણિત ન જાણતા હોય એમના માટે આ ખાતરી ઉત્સાહજનક છે, એમણે આખી ભૂમિતિને અને કૅલ્ક્યૂલસને બીજગણિતમાં ફેરવી નાખ્યાં, દાખલા તરીકે, નીચે એક વર્તુળ દેખાડ્યું છે. એ ભૂમિતિની આકૃતિ છે. ભૂમિતિની આકૃતિપરંતુ યામ-ભૂમિતિએ એને બીજગણિતમાં ફેરવી નાખી છે. X2 + y2 = 1 બીજગણિતની ભાષા છે. x અને y માટે વિવિધ કિંમતો લઈને જો આલેખ ઉપર બિંદુઓ મૂકીએ તો એક વર્તુળની આકૃતિ તૈયાર થાય. તેનો વધારે અભ્યાસ આમ સરળ બને.

આમ છતાં એમાં સમીકરણો અને સૂત્રો એટલાં બધાં છે કે આપણને થાય કે લૅગ્રાન્જે ભૂમિતિથી છોડાવ્યા તો બીજગણિતમાં ફસાવ્યા! આમ આપણા ઉત્સાહ પર પાણી ફરી વળે, પણ હિંમત ન હારવી!

એમણે આ પુસ્તકનું વિષયવસ્તુ તો ૧૯ વર્ષની ઉંમરે જ નક્કી કરી લીધું હતું પણ એ છપાયું ત્યારે એમની ઉંમર બાવન વર્ષની હતી. આટલાં વર્ષ એમણે શા માટે રાહ જોઈ? કંઈ નહીં. એ હતા જ એવા! શરમાળ, અતડા, કોઈ જાતની નામ કમાવાની મહત્ત્વાકાંક્ષા નહીં. બસ, ગણિત ગણવા મળે અને દાળ-રોટલી મળી જાય એટલે કામ પૂરું. પોતાનાં આવાં ક્રાન્તિકારી કામને છપાવવાની એમને બહુ ઉતાવળ નહોતી.

આપણે આઈલર વિશેના લેખમાં જોયું કે એ એવા સાદા અને નિરભિમાની હતા કે એમના કોઈ જૂનિયરના કામની પણ પ્રશંસા કરતાં થાકતા નહોતા; એક વિદ્યાર્થીએ એમને પોતાની નોટ્સ દેખાડી તેને કારણે આઈલરની કેટલી મુંઝવણો દૂર થઈ અને એ માર્ગે આગળ વધ્યા પણ જ્યાં સુધી એ વિદ્યાર્થીની નોટ્સ છપાય નહીં ત્યાં સુધી એમણે એનું પ્રકાશન કરવાનું ટાળ્યું. આ વિદ્યાર્થી બીજા કોઈ નહીં, પણ લૅગ્રાન્જ! આઈલર અને બર્નોલી ભાઈઓનો પ્રયાસ હતો કે કૅલ્ક્યુલસની મદદથી આકૃતિઓ વિના ભૂમિતિના સવાલોના જવાબ શોધવા. પરંતુ એમને આમાં ક્યાંક તો આકૃતિઓનો આશરો લેવો જ પડતો હતો. એમને સંપૂર્ણ સફળતા નહોતી મળતી. એવામાં લૅગ્રાન્જ ગણિતજગતના તખ્તા પર આવ્યા અને બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને આઈલરની મૂંઝવણ દૂર કરી આપી. બીજગણિત કોઈ એક ગાણિતિક ઘટનાને એનાં સ્થાનિક બંધનોમાંથી મુક્ત કરીને સાર્વત્રિક બનાવી દે છે. એક જગ્યાએ જે સાચું હોય તે બધી જગ્યાએ સાચું હોવું જ જોઈએ. આથી બીજગણિત બધી જગ્યાએ લાગુ પડે એવાં સૂત્રોની ભાષામાં બોલે છે.

લૅગ્રાન્જ પર કોનો દાવો પ્રબળ?

લૅગ્રાન્જને કોઈ ઇટલીના ગણાવે છે તો કોઈ ફ્રાન્સના. આનું કારણ એ કે એ મૂળ તો ઈટલીના. એમનો જન્મ ૧૭૩૬માં ઈટલીના તુરિન શહેરમાં થયો. પછી એ ફ્રાન્સમાં સ્થાયી થયા. એમના દાદા ફ્રેન્ચ ઘોડેસવાર દળના કૅપ્ટન હતા. એ સર્ડિનિયાના રાજા ચાર્લ્સ ઍડમંડ બીજાની સેવામાં જોડાયા અને તુરિનમાં વસી ગયા. અહીં એમણે એક ઉચ્ચ કાઉંટ પરિવારની છોકરી સાથે લગ્ન કર્યાં. લૅગ્રાન્જના પિતાનો જન્મ પણ તુરિનમાં જ થયો. એમણે પણ એક ધનવાન ડૉક્ટરની એકની એક પુત્રી સાથે લગ્ન કર્યાં અને ૧૧ બાળકોના પિતા બન્યા. બાળકો જન્મતાં રહ્યાં અને મરતાં રહ્યાં; છેલ્લે ૨૫મી જાન્યુઆરી ૧૭૩૬ના લૅગ્રાન્જ જન્મ્યા અને ગણિતશાસ્ત્ર માટે બચી ગયા. આમ એમનામાં ઈટાલિયન અને ફ્રેન્ચ બન્ને લોહી હતાં. પિતા સમૃદ્ધ હતા અને માતાના પક્ષે પણ ઘણું ધન હતું પણ પિતાને સટ્ટાનો નશો હતો. લૅગ્રાન્જ આઠ વર્ષના થયા એટલામાં તો પિતાએ એમની બધી સંપત્તિ વેડફી નાખી હતી. લૅગ્રાન્જે મોટી ઉંંમરે પોતાનું બાળપણ યાદ કરતાં એ દુર્ઘટનાને આશીર્વાદ જેવી ગણાવી! મને વારસામાં મિલકત મળી હોત તો મેં મારા ભાગ્યને ગણિત સાથે જોડ્યું હોત.”

ગણિત વિજ્ઞાનના ઉત્તુંગ પીરામિડ”: નૅપોલિયન

એ જમાનામાં ફૅશન હતી કે શું, પણ શરૂઆતમાં લૅગ્રાન્જને માત્ર પ્રશિષ્ટ સાહિત્યમાં રસ હતો. પરંતુ એક વાર એમના હાથમાં ન્યૂટનના મિત્ર અને ધૂમકેતુની ગતિ વિશે આગાહી કરનાર વિજ્ઞાની હેલીનો એક નિબંધ આવી ગયો. હૅલીએ ભૌમિતિક રચનાઓ કરતાં કૅલ્ક્યુલસ કેટલું ચડિયાતું છે એ દેખાડ્યું હતું. આ નિબંધે બાળક લૅગ્રાન્જના મનને ઝકડી લીધું અને બહુ જ થોડા સમયમાં એમણે કૅલ્ક્યુલસ ઉપર પ્રભુત્વ જમાવ્યું અને ૧૯ વર્ષની ઉંમરે પહોંચતાં એટલી ખ્યાતિ મેળવી લીધી કે એમને તુરિનની રૉયલ આર્ટિલરી સ્કૂલમાં ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે નીમવામાં આવ્યા. ચાર વર્ષ પછી ગણિતમાં સંશોધનો માટે લૅગ્રાન્જે તુરિનમાં રીસર્ચ સોસાઇટી બનાવી, જેમાં ૨૩ વર્ષનો પ્રોફેસર પોતાનાથી મોટી ઉંમરના વિદ્યાર્થીઓ સમક્ષ વ્યાખ્યાન આપવા લાગ્યો. આગળ જતાં આ જ સંસ્થાનો વિકાસ તુરિનની વિજ્ઞાન અકાદમી તરીકે થયો.

પરંતુ લૅગ્રાન્જે જીવનનો મોટો ભાગ ફ્રાન્સમાં ગાળ્યો. એમની સાથે ગણિતશાસ્ત્રનું કેન્દ્ર પણ જર્મની કે રશિયામાંથી ખસીને ફ્રાન્સમાં પહોંચ્યું. નૅપોલિયન ૧૮મી સદીના આ મહાન ગણિતશાસ્ત્રીથી એટલો પ્રભાવિત હતો કે એણે કહ્યું કે લૅગ્રાન્જ ગણિત વિજ્ઞાનના ઉત્તુંગ પીરામિડ છે.” નેપોલિયને એમને સૅનેટમાં લીધા, કાઉંટ ઑફ ધી ઍમ્પાયર અને ગ્રાંડ ઑફિસર ઑફ ધી લીજ્યન ઑફ ઑનરના ખિતાબો આપ્યા; સર્ડિનિયાના રાજા અને પ્રશિયાના ફ્રેડરિક(Fredrick the Great) પણ એમનું બહુમાન કરવામાં કંજુસ ન બન્યા.

ભૂમિતિની શોધ તો ગ્રીકોએ કરી હતી, કૅલ્ક્યુલસ આવતાં એના મહત્ત્વમાં છીંડું પડ્યું, અને લૅગ્રાન્જે તો એના ગઢને જ જમીનદોસ્ત કરી દીધો. ન્યૂટન અને એમના સમકાલીન વૈજ્ઞાનિકો ભૂમિતિની મદદ લેવાનું પસંદ કરતા હતા પણ લૅગ્રાન્જે સાબીત કર્યું કે ભૌમિતિક આકૃતિઓ કરતાં વિશ્લેષણ પદ્ધતિ વધારે સારી છે. આમ લૅગ્રાન્જે ગણિતના ક્ષેત્રમાં આર્કિમિડીસથી શરૂ થયેલી પદ્ધતિને સ્થાને નવું ક્ષેત્ર ખોલી આપ્યું.

લૅગ્રાન્જની ગણિતયાત્રા

લૅગ્રાન્જ તુરિનમાં રહીને પૅરિસની ઍકેડેમીનાં ઇનામો જીતતા રહ્યા. આથી ઉત્સાહિત થઈને સર્ડિનિયાના રાજાએ એમનો પૅરિસ અને લંડન જવાનો ખર્ચ ઉપાડી લીધો. તુરિનના એક પ્રધાન એમની સાથે જવા નીકળ્યા. પૅરિસમાં લૅગ્રાન્જથી પહેલાં એમની પ્રતિષ્ઠા પહોંચી ગઈ હતી અને એમનું નામ આદરપૂર્વક લેવાતું હતું. સૌ એમની રાહ જોતા હતા. એમના માનમાં ભોજન સમારંભ યોજાયો તેમાં ફ્રાન્સની ખાસ વાનગીઓ ખાઈને એ બીમાર પડી ગયા અને લંડન ન જઈ શક્યા. પરંતુ આ ભોજનની એક અસર એ થઈ કે એમણે પેરિસમાં ન રહેવાનું નક્કી કર્યું અને સાજા થતાંવેંત પાછા તુરિન પહોંચી ગયા.

બર્લિન ઍકેડેમીમાં

પરંતુ તુરિનમાં એમનાં અંજળપાણી તો ખૂટી ગયાં હતાં. ૧૭૬૬માં એમણે ઉંમરનો માત્ર ત્રીસમો પડાવ પસાર કર્યો હતો ત્યારે પ્રશિયાના રાજા ફ્રેડરિક તરફથી એમને બર્લિન આવવાનું આમંત્રણ મળ્યું. ફ્રેડરિકે લખ્યુંઃ યુરોપના સૌથી મહાન રાજાને સૌથી મહાન ગણિતશાસ્ત્રીને આવકારતાં આનંદ થશે!” ફ્રેડરિક સૌથી મહાન હતો કે નહીં, તે તો ચર્ચાનો વિષય છે, પણ એણે લૅગ્રાન્જને ‘સૌથી મહાન ગણિતશાસ્ત્રી’ ગણાવ્યા તેમાં જરા પણ અતિશયોક્તિ નથી. એ બર્લિન ઍકેડેમીમાં ફિઝિક્સ અને ગણિતના સંયુક્ત વિભાગના ડાયરેક્ટર તરીકે નિમાયા, પણ જર્મન પ્રોફેસરોને બહારથી આયાત કરેલો છોકરો એમની માથે બેસી જાય તે ગમતું નહોતું અને એમની સાથે તોછડાઈથી વર્તતા પણ લૅગ્રાન્જ માત્ર ઉત્તમ ગણિતશાસ્ત્રી જ નહોતા, એમની બીજી કળા હતી, જરૂર ન હોય તો જીભ ન ચલાવવાની. અંતે એમના ટીકાકારો થાક્યા અને એમની હાજરીથી ટેવાઈ ગયા લૅગ્રાન્જે ત્યાં વીસ વર્ષ કામ કર્યું અને અસંખ્ય અભ્યાસપત્રો લખ્યા.

Jean le Rond d'Alembertઆઈલર પણ ફ્રેડરિકના દરબારમાં જ હતા. એ તો આપણે વાંચી લીધું છે કે ફ્રેડરિક એમનાથી કંટાળીને ઝ્યાં લે’ રોં દ’ અલ-અમ-બેર (Jean le Rond d’Alembert)ને નીમવા માગતો હતો પણ એમણે આઈલરનું સ્થાન લેવાની ના પાડી. આઈલર જેવા મધમીઠા અને ધાર્મિક માણસની જગ્યાએ ઈશ્વરના અસ્તિત્વ વિશે વિચારવાની પળોજણમાં ન પડે તેવો શુદ્ધ ગણિતભક્ત યુવાન ફ્રેડરિકને બહુ પસંદ આવ્યો અને લૅગ્રાન્જની સાથે એના કલાકો ક્યાં જતા તેની પણ એને ખબર ન રહેતી.

બર્લિનમાં જામી ગયા પછી લૅગ્રાન્જે તુરિનમાંથી પોતાની નજીકની એક છોકરીને બોલાવીને એની સાથે લગ્ન કરી લીધાં લગ્ન વિશે એમણે કોઈને જાણ પણ ન કરી; ત્યાં સુધી કે એમના મિત્ર અને સંરક્ષક અલ-અમ-બેરને પણ કહ્યું નહીં. એમણે લૅગ્રાન્જને લખ્યું કે ગણિતનો માણસ ગણતરી કરવામાં ભૂલ કરે, અને તમે પણ સુખ કેટલું મળશે તેનો હિસાબ કરી લીધો હશે.” લૅગ્રાન્જનો જવાબ જોવા જેવો છેઃ મેં બરાબર ગણતરી કરી કે નહીં તે ખબર નથી, ખરું કહું તો સંજોગોએ એવું ગોઠવ્યું કે મારા સગાઓમાંથી એક સ્ત્રી મારી સંભાળ લે. લાઇબ્નીઝને વિચારવાનું મળ્યું તો એમણે ભૂલો કરી, મને વિચારવા જેવું લાગ્યું અને મેં તમને જાણ કરી તેનું કારણ કે એવી નજીવી ઘટના છે કે તમને કહેવા જેવું લાગ્યું નહીં!”

પરંતુ આ ઘટના એવી નજીવી નહોતી. બન્નેનું દાંપત્યજીવન બહુ સારું રહ્યું. પરસ્પર પ્રેમ પણ બહુ હતો. પત્ની બીમાર પડતાં લૅગ્રાન્જ બધું મૂકીને એની સેવામાં રાતદિવસ લાગી ગયા. પત્નીના મૃત્યુ પછી એમણે લખ્યું: “હવે મારું જીવન ગણિતના વિકાસ અને શાંતિ રાખવા પૂરતું જ રહ્યું છે.” એમણે અલ-અમ-બેરને લખ્યું: “હું ગણિત કરું છું તે કોઈ નોકરી તરીકે નહીં, બસ મઝા આવે છે એટલે કરું છું એટલે જ મને જરાક સંતોષ જેવું લાગે ત્યાં સુધી મારું કરેલું સુધાર્યા-મઠાર્યા કરું છું.” દુનિયાને એમની આ ‘મઝા’નો બહુ લાભ મળ્યો છે.

લૂઈ સોળમાનું આમંત્રણ

લૂઈ સોળમાનું આમંત્રણ૧૭૮૬ના ઑગસ્ટમાં ફ્રેડરિકનું મૃત્યુ થયું. તે પછી પ્રશિયાના ન હોય તેવા વિદ્વાનો સામે પ્રશિયન વિદ્વાનોનો વિરોધ પ્રબળ બન્યો. લૅગ્રાન્જે ઍકેડેમીમાંથી રાજીનામું આપ્યું તેનો રાજીખુશીથી સ્વીકાર કરી લેવાયો. એના પછી એ લૂઈ સોળમાના આમંત્રણથી પૅરિસની ફ્રેન્ચ ઍકેડેમીમાં જોડાયા અને જીવનના અંત સુધી ત્યાં જ રહ્યા. એ પૅરિસમાં રાણી મૅરી ઍન્ટોઈનેટના માનીતા મિત્ર બની ગયા. પરંતુ લૅગ્રાન્જ મનથી થાકી ગયા હતા, એમને લાગતું હતું કે હવે એમણે કંઈ કરવાનું રહ્યું નથી. ગણિત પૂરું થઈ ગયું હતું. એમનાથી ૧૯ વર્ષ નાની રાણી આ સમજી શકી હતી અને એમનો ઉત્સાહ વધારવા માટે કંઈ પણ કરવા તત્પર રહેતી.

લૅગ્રાન્જનું મન હવે ગણિત પરથી હટીને માનવ સમાજમાં વિચારની પ્રક્રિયાના વિકાસ પર કેન્દ્રિત થયું હતું અને એમણે ધર્મોના ઇતિહાસ, ભાષાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો, વનસ્પતિ શાસ્ત્ર વિશે ઘણું લખ્યું. એમને લાગવા માંડ્યું હતું કે ગણિતનું હવે ભવિષ્ય નથી. કોઈ એમને ગણિતમાં થયેલી નવી પ્રગતિની વાત કરે તો એ કહેતાઃ બહુ સારું; મેં શરૂ કર્યું પણ હવે મારે પૂરું નહીં કરવું પડે!” મનથી એ એટલા એકલવાયા બની ગયા હતા કે ઘણા લોકોની સાથે બેઠા હોય ત્યાAntoine-Laurent de Lavoisierરે બોલવાનું જરૂરી બની જાય તો બોલે, તે સિવાય પોતે વાત શરૂ ન કરે. પ્રખ્યાત રસાયણ વિજ્ઞાની લૅવૉઝિયે (Antoine-Laurent de Lavoisier) એમના મિત્ર હતા. ઑક્સીજનને ‘ઑક્સીજન’ અને હાઇડ્રોજનને ‘હાઇડ્રોજન’ નામ આપનાર લૅવૉઝિયે! લૅગ્રાન્જ કહેતા કે લૅવૉઝિયેએ રસાયણશાસ્ત્રને અંકગણિત જેવું સહેલું બનાવી દીધું છે. .લૅવૉઝિયેને વૈજ્ઞાનિકોને પોતાને ઘરે એકઠા કરવાનો શોખ હતો. લૅગ્રાન્જ આવી બેઠકોમાં જતા. ઘણા તો લૅગ્રાન્જને મળી શકાશેએ આશામાં જ ત્યાં આવતા, પણ બધા વાતો કરતા હોય ત્યારે લૅગ્રાન્જ સૌની તરફ પીઠ કરીને બારી બહાર આકાશને તાકતા રહે. લૅવૉઝિયેને લૅગ્રાન્જની બહુ ચિંતા હતી.

ફ્રાન્સની રાજ્યક્રાન્તિ

લૅગ્રાન્જ ફ્રાન્સ પહોંચ્યા એ સમયગાળો દેશ માટે સારો નહોતો. લડાઈઓને કારણે ફ્રાન્સ ભારે દેવામાં ડૂબી ગયું હતું. લૂઈ સોળમાએ ખર્ચ પૂરો કરવા માટે ભારે કરવેરા નાખ્યા તેથી લોકોમાં ઊગ્ર રોષ ફેલાઈ ગયો. લોકોને ખાવાના પણ સાંસા પડવા લાગ્યા. આ સંદર્ભમાં આપણે મૅરી ઍન્ટોઇનેટના નામે ચડેલા કહેવાતા કથનથી પરિચિત છીએ કે “લોકો પાસે બ્રેડ ન હોય તો કેક ખાય!” તે પછી બળવો ફાટી નીકળ્યો.

૧૪મી જુલાઈ ૧૭૮૯

આ દિવસ ઇતિહાસમાં બૅસ્ટાઇલ (બાસ્તીઈ – ફ્રેન્ચ ઉચ્ચાર)ના પતન તરીકે જાણીતો છે. બૅસ્ટાઇલના કિલ્લામાં જેલ હતી. ક્રાન્તિકારીઓએ એના પર હલ્લો કરીને જેલ તોડી નાખી. તે પછી લૂઈ સોળમો અને મૅરી ઍન્ટોઈનેટ ક્રાન્તિકારીઓના હાથમાં પડ્યાં અને એમનો ગિલોટિનથી શિરચ્છેદ કરવામાં આવ્યો.

લૅગ્રાન્જ માટે આ દિવસો ખરાબ હતા કારણ કે હવે ક્રાન્તિકારીઓ લૂઈ સોળમા સાથે સારા સંબંધો હોય તેવા લોકોની પાછળ પડ્યા હતા. સાથીઓની સલાહને અવગણીને લૅગ્રાન્જે ફ્રાન્સમાં જ રહેવાનો નિર્ણય લીધો. તેઓ “ક્રાન્તિકારીઓનો માનવ સ્વભાવને બદલવાનો પ્રયોગ” જોવા માગતા હતા. પરંતુ જે રીતે ક્રાન્તિકારીઓ શિરચ્છેદ કરતા હતા તેથી એમને વિતૃષ્ણા થઈ. હદ તો ત્યારે થઈ કે લૅવૉઝિયે જેવા વૈજ્ઞાનિકને પણ ગિલોટિન કરવામાં આવ્યા. ત્યારે લૅગ્રાન્જે એમની હંમેશની તટસ્થતા છોડી અને કહ્યું, એમને માથું કાપી નાખવામાં એક ક્ષણ લાગી પણ એવું માથું ફરી પાકે તેના માટે તો સો વર્ષ પણ ઓછાં પડશે.”

રાજ્યક્રાન્તિ અને દશાંશ પદ્ધતિ

ફ્રેન્ચ ક્રાન્તિકારીઓએ લૅવૉઝિયે અને બીજા કેટલાયે નામાંકિત નાગરિકોને મોતને ઘાટે ઉતારી દીધા, પરંતુ લૅગ્રાન્જ માટે એમનું કૂણું વલણ હતું. ખરું જોતાં એમણે લૅગ્રાન્જને વજન અને માપ માટે દશાંશ પદ્ધતિ વિકસાવવાની જવાબદારી સોંપી અને પહેલી વાર એમને ગણિતના શિક્ષક તરીકે કામ અપાયું. લૅગ્રાન્જે આખું જીવન ગણિતની સાધનામાં ગાળ્યું હતું પણ હવે એમના પર વિદ્યાર્થીઓને ભણાવવાની જવાબદારી પણ આવી. એ બહુ સારા શિક્ષક પણ સાબિત થયા અને એમના હાથ નીચે ભણીને ઘણા એન્જીનિયરો બન્યા, જે નેપોલિયનને યુરોપ પર ફ્તેહ મેળવવામાં ઉપયોગી થયા!

લૅગ્રાન્જ આમ વ્યસ્ત બહુ રહેવા લાગ્યા તેમ છતાં એમનું જીવન એકલવાયું હતું. એમના મિત્ર, ખગોળ વૈજ્ઞાનિક લૅમોનિયેની દીકરી એમની આ એકલતાને સમજી શકી અને એમને પરણવાની હઠ લઈ બેઠી, ૫૬ વર્ષની વયે લૅગ્રાન્જ ૧૬ વર્ષની છોકરી સાથે પરણ્યા. બાલિકાવધૂ એમના માટે શુભ સાબીત થઈ. એણે એમના જીવનમાં ફરી નવચેતન રેડ્યું એટલું જ નહીં, મૅરી ઍન્ટોઇનેટને ગિલોટિન કરનારા ક્રાન્તિકારીઓ હવે રાણીના મિત્ર પ્રત્યે ભક્તિભાવથી જોવા લાગ્યા, તે એટલે સુધી કે ૧૭૯૭માં નૅપોલિયને ઈટલી પર આક્રમણ કરીને પીડમોન્ટ પર કબજો કરી લીધો ત્યારે હજી લૅગ્રાન્જના પિતા તુરિનમાં જ રહેતા હતા. નેપોલિયને એના સાથી તૅલિરાં (Talleyrand)ને ખાસ તુરિન મોકલ્યો અને સંદેશ આપ્યો કે આપના પુત્રને પેદા કરવા માટે પીડમોન્ટ ગર્વ લે છે અને ફ્રાન્સ એને પોતાનો બનાવવા માટે ગર્વ લે છે; એણે આખી માનવજાતને ગૌરવ અપાવ્યું છે.”

૧૮૧૦ની ૧૩મી ઍપ્રિલે ૭૬ વર્ષની ઉંમરે આ મહાન ગણિતશાસ્ત્રીએ આ દુનિયામાંથી વિદાય લીધી.

ગણિતમાં લૅગ્રાન્જનું પ્રદાન

નૅપોલિયને લૅગ્રાન્જને ગણિતના ઉત્તુંગ પીરામિડ ગણાવ્યા તે બહુ સાચું છે. આપણે શરૂઆતમાં જ જોયું તેમ એમણે આખી ભૂમિતિને બીજગણિતમાં ફેરવી નાખી. ન્યૂટનના ખગોળીય મૅકેનિક્સને પણ એમણે આકૃતિઓમાંથી મુક્ત કર્યું.

નંબર થિયરીમાં એમનું પ્રદાન બહુ મહત્ત્વનું રહ્યું છે. આપણે આ શ્રેણીમાં આ પહેલાંના લેખોમાં જોઈ ગયા છીએ કે નંબર થિયરીમાં સંખ્યાને જુદી જુદી રીતે જોવાની અને કલ્પના કરીને નવાં પરિમાણો સ્થાપવાની સ્વતંત્રતા મળે છે. આ રીતે આ એક સર્જનાત્મક પ્રક્રિયા બની રહે છે. સંખ્યાને સમજવાનું કૌશલ્ય પ્રાચીન ભારત, ઈજિપ્ત અને મેસોપોટેમિયામાં પણ હોવાના પુરાવા મળે છે. તે ઉપરાંત પશ્ચિમી જગતમાં પણ બે હજાર વર્ષ પહેલાં ગણિતજ્ઞો થઈ ગયા પણ બધું યુરોપના અંધાર યુગમાં ભુલાઈ ગયું હતું. એમના સમકાલીન જ્‍હૉન વિલ્સને એક થિયરમ આપ્યું હતું, જે આપણે સાદા શબ્દોમાં ઉદાહરણ દ્વારા જોઈએ. એ પ્રાઇમ નંબર વિશે છે.

  • કોઈ એક પ્રાઇમ નંબર લો. દાખલા તરીકે ૫. હવે એનાથી નાની દરેક સંખ્યાનો ગુણાકાર કરો. એટલે કે (૧ x ૨ x ૩ x ૪ = ૨૪). હવે એમાં ૧ ઉમેરો = ૨૫. આ સંખ્યાને આપણે લીધેલા પ્રાઇમ નંબર (૫)થી ભાગી શકાય છે!
  • બીજું ઉદાહરણ લઈએ. ધારો કે પ્રાઇમ સંખ્યા ૭ લીધી. ઉપર પ્રમાણે કરીએ તો (૧ x ૨ x ૩ x ૪ x ૫x ૬ = ૭૨૦) + ૧ = ૭૨૧. આ સંખ્યાને ૭ દ્વારા ભાગી શકાય છે!

૧૫મી ઑગસ્ટ ૧૭૬૮ના લૅગ્રાન્જે દ’અલ-અમ બેરને પત્ર લખ્યો એ ધ્યાન આપવા જેવો છેઃ “છેલ્લા થોડા દિવસથી હું અંકગણિતના કોયડાઓના અભ્યાસમાં જરા વ્યસ્ત રહ્યો છું, અને હું તમને ચોક્કસપણે કહેવા માગું છું કે એમાં મેં ધાર્યું હતું તેના કરતાં વધારે મુશ્કેલીઓ પડી. અહીં એક ઉદાહરણ આપું છું, એનો ઉકેલ હું માંડ માંડ શોધી શક્યો છું. કોઈ પણ એવો પૂર્ણાંક n લો, જે વર્ગ ન હોય; હવે એક એવો પૂર્ણાંક x2 શોધો જેથી nx2 +1 વર્ગસંખ્યા બને…વર્ગોના સિદ્ધાંતમાં આ કોયડો બહુ મહત્ત્વનો છે…”.વર્ગોનો સિદ્ધાંત આજે ક્વૉડ્રૅટિક ઇક્વેશન્સ તરીકે ઓળખાય છે, જેનો વિકાસ ગૌસે કર્યો.

ખગોળશાસ્ત્રમાં પણ લૅગ્રાન્જનો ફાળો મહત્ત્વનો છે. એમણે ચંદ્રની એક બાજુ આપણી સામે કેમ રહે છે તે ગણિતની મદદથી સમજાવ્યું અને ગુરુના ચંદ્રોની ગતિની પણ ગણતરી કરી આપી.

0-0-0

Mathematicians – 4 – Leonhard Euler

imageલિઅનહાર્ટ આઈલર (Leonhard Eulerઆ સ્વિસ ઉચ્ચાર છે, જર્મનમાં લિયોનાર્ડ આયલર બોલાય છે). ગણિતની વિકસતી અને બદલાતી દુનિયાનું પ્રતીક છે. આપણે ન્યૂટન, લાઇબ્નીસ અને બર્નોલી પરિવારની વાત કરતાં જોયું કે એમનો મહત્ત્વનો ફાળો કૅલ્ક્યુલસમાં રહ્યો. ૧૮મી સદી આવતાં સુધીમાં હવે સંખ્યાઓમાં પણ રસ વધવા લાગ્યો હતો. આઈલર અને ડેનિયલ બર્નોલી મિત્ર હતા અને કૅલ્ક્યુલસમાં આઈલરનો ફાળો પણ મહત્ત્વનો રહ્યો છે, તેમ છતાં Number Theoryમાં પણ એ મશાલચી રહ્યા.

આઈલરને કોઈ પણ સંખ્યા જોતાંવેંત એમાં ઊંડા ઊતરવાનું ભારે આકર્ષણ હતું. આપણા રામાનુજન વિશે વિગતે વાત તો કરવી જ છે; અત્યારે એટલું જાણી લઈએ કે રામાનુજનમાં પણ સંખ્યાને વાંચવાની અજબની શક્તિ હતી. સંખ્યાનું આંતરિક ગઠન, સ્વરૂપ અને સૌંદર્ય એમને સાહજિક રીતે જ નજરે ચડી જતું હતું. આઈલર પણ એ જ કક્ષાના ગણિત શાસ્ત્રી હતા.

આઈલરનો જન્મ ૧૭૦૭માં સ્વિટ્ઝર્લૅંડના બૅસલ શહેરમાં થયો. આ શહેરમાં જ બર્નોલી પરિવારે ત્રણ મહાન ગણિતજ્ઞો આપ્યા. આઈલરનો જન્મ થયો ત્યારે જૅકબ બર્નોલીનું તો અવસાન થઈ ગયું હતું અને એમના ભાઈ જોહાન બર્નોલીએ બૅસલ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે સ્થાન સંભાળી લીધું હતું; જોહાનનો પ્રતિભાવાન અને ભવિષ્યનો મહાન ગણિતશાસ્ત્રી પુત્ર ડૅનિયલ સાત વર્ષનો હતો.

લિઅનહાર્ટ આઈલરના પિતા પોલ આઈલર પોતે કુશળ ગણિતજ્ઞ હતા અને બૅસલના ચર્ચના પાદરી હતા. એમની ઇચ્છા હતી કે લિઅનહાર્ટ ચર્ચ સંભાળે. નાનો લિઅનહાર્ટ આજ્ઞાંકિત પુત્ર હતો. એને ગણિતમાં રસ હતો પરંતુ પિતાની ઇચ્છાને માન આપીને એણે થિયોલૉજી અને હિબ્રૂ શીખવાનું શરૂ કર્યું. જો કે તે સાથે ગણિતમાં પણ એ એટલો કુશળ હતો કે જોહાન બર્નોલીનું પણ એ નાના છોકરાની પ્રતિભા પર ધ્યાન ગયું. જોહાને એને અઠવડિયે એક વાર ગણિતમાં ટ્યૂશન આપવાનું સ્વીકાર્યું. લિઅનહાર્ટ ટ્યૂશનમાંથી પાછો આવીને આખું અઠવાડિયું આગળના પાઠમાં લગાડી દેતો કે જેથી ઓછા સમયમાં એને ઘણા પ્રશ્નો પૂછવા ન પડે. એની મહેનત અને ખંત તરફ જોહાનના પુત્રો ડેનિયલ અને નિકોલસનું પણ ધ્યાન ગયું અને એ પણ એના મિત્ર બની ગયા.

૧૭ વર્ષની ઉંમરે લિઅનહાર્ટ આઈલરે માસ્ટર્સ પૂરું કરી લીધું ત્યારે પિતાને થયું કે હવે બહુ થયું. એમણે દબાણ કરવા માંડ્યું કે એ ગણિતને પડતું મૂકે અને બધું ધ્યાન થિયોલૉજી પર કેન્દ્રિત કરે. આ વખતે બર્નોલી પિતાપુત્રોએ બાપને સમજાવ્યું કે એ છોકરો પાદરી બનવા પેદા નથી થયો, ગણિતમાં જ એ નામ કમાવાનો છે. પિતા માની જતાં લિઅનહાર્ટ સંપૂર્ણપણે ગણિતમય થઈ ગયો.

પહેલાં તો એણે પૅરિસ ઍકેડેમીની એક સ્પર્ધામાં ભાગ લીધો, જો કે એમાં એને ઇનામ ન મળ્યું, માત્ર એના કામની પ્રશંસા થઈ. ૧૯ વર્ષની વયે મળેલી આ નિષ્ફળતા પછી એણે પૅરિસ ઍકેડેમીનાં બાર ઇનામો જીતીને બદલો વાળી લીધો.

ટેકનિકલગણિતશાસ્ત્રી

આઈલર વિશે એમ કહેવાય છે કે એ ગણિતમાં એટલા પ્રવીણ હતા કે એમના કામમાં કોઈ ભૂલ કાઢવી એ શક્ય નહોતું. પરંતુ એ જ કારણસર એમના પર એ પણ આક્ષેપ છે કે એ  ‘ટેકનિકલ’ ગણિતશાસ્ત્રી હતો,  એનું ગણિત સાચું હોય, ભલે ને, વાસ્તવિક સ્થિતિ સાથે એનો મેળ હોય કે નહીં, દાખલા તરીકે, પૅરિસ ઍકેડેમીનો સવાલ સમુદ્રમાં જહાજ વ્યવહાર વિશે હતો. વાત એ છે કે સ્વિટ્ઝર્લૅંડ જમીનથી ઘેરાયેલો દેશ છે એટલે ત્યાં બંદર તો હોય જ નહીં, તો જહાજ ક્યાંથી હોય? ઈ. ટી. બેલ લખે છે કે આઈલરે કોઈ તળાવમાં નાની હોડીઓ જોઈ હોય તોય ઘણું, મોટા જહાજની તો વાત જ શું કરવી? પણ આઈલરને માત્ર ગણિત ખાતર આવા પ્રશ્નોમાં પણ રસ પડતો.

હવે એમણે બૅસલ યુનિવર્સિટીમાં પ્રોફેસરના પદ માટે અરજી કરી. અરજી નામંજૂર થઈ. આઈલરભાઈ તો પાછા પોતાના અભ્યાસમાં લાગી ગયા, પણ એમના મિત્ર બર્નોલી ભાઈઓ, ડેનિયલ અને નિકોલસ, એ વખતે રશિયાની ઝરીના કૅથેરાઇનના આમંત્રણથી સેંટ પીટર્સબર્ગમાં કામ કરતા હતા. એમને પોતાના મિત્રની યાદ આવી અને એમણે ખાસ મહેનત કરીને આઈલરને રશિયા બોલાવી લીધા. એ વખતે સેંટ પીટર્સબર્ગ ઍકેડેમીમાં માત્ર મૅડિકલ વિભાગમાં જગ્યા હતી તેમાં આઈલરને જૂનિયર પદ પર ગોઠવી દીધા.

ગણિતના વિભાગમાં તો જગ્યા ખાલી નહોતી. નિકોલસ બર્નોલી ગણિત વિભાગમાં પ્રોફેસર હતો અને ડેનિયલ પણ ફિઝિયોલોજી વિભાગમાં હતો. બન્ને ભાઈ રશિયા પહોંચ્યા તેના એક જ વર્ષમાં નિકોલસનું કોઈ તાવમાં મૃત્યુ થઈ ગયું અને ડેનિયલને ગણિત વિભાગમાં પ્રમોશન મળી ગયું. આથી એણે ફિઝિયોલોજી વિભાગની પોતાની જગ્યા આઈલરને અપાવી દીધી.

સંગીત અને ગણિત

પરંતુ ગણિત કેમ છૂટે? આઈલરે મૅડિકલ વિભાગમાં લેક્ચરો સાંભળ્યાં તેમાં કાન વિશેના એક લેક્ચર પરથી એમને ધ્વનિ તરંગોનો વિચાર આવ્યો અને એ્મણે ધ્વનિ તરંગો પર કામ શરૂ કરી દીધું! આઈલરને સંગીત બહુ પસંદ હતું, પરંતુ કોઈ વાદ્યમાંથી ધ્વનિ કેમ પ્રગટે છે અને જુદા જુદા સૂરો કેમ બને છે તે એમણે શોધી કાઢ્યું. એમનો સંગીત વિશેનો નિબંધ De Sono ૧૭૩૯માં પ્રકાશિત થયો ત્યારે એ તરત તો લોકપ્રિય ન બન્યો કારણ કે એમાં સંગીતપ્રેમીઓ માટે ગણિત વધારે હતું અને ગણિતના ચાહકો માટે સંગીત વધારે હતું!

નિબંધમાં આઈલર કહે છે કે જૂના ફિલોસોફરોએ ધ્વનિને જે રીતે સમજાવ્યો છે તે બહુ સ્પષ્ટ નથી. એપિક્યૂરસ (ઈ. પૂ. ૩૪૧-૨૭૦)નો ખ્યાલ હતો કે ધ્વનિ નદીના પ્રવાહની જેમ એક ધબકતા વાદ્યમાંથી પ્રગટે છે. બીજી બાજુ એરિસ્ટોટલ (ઈ. પૂ. ૩૮૪-૩૨૨) એમ માનતો કે બે કણો કે પિંડો વચ્ચે ટક્કર થતાં ધ્વનિ પેદા થાય છે. ન્યૂટન એ બધાથી વધારે સ્પષ્ટતાથી ધ્વનિ કેમ એક છેડેથી બીજે છેડે પહોંચે છે તે સમજાવી શક્યા. આમ છતાં ધ્વનિના વહનની જટિલતા હજી પૂરેપૂરી સમજવાનો આઈલરે પ્રયાસ કર્યો.

આઈલરે ધ્વનિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી નાખ્યોઃ

image

 

 

સિતાર, સરોદ જેવાં તંતુવાદ્યોમાંથી પ્રગટતો ધ્વનિ,

image

 

 

આંધી, વીજળીના તોફાન કે વિમાનના ગડગડાટનો ધ્વનિ,  

અને ફૂંકથી વાગતાં વાદ્યો (બંસરી, મોરલી, શરણાઈ)નો ધ્વનિ.

imageimage

(ઉપર પ્રથમ તસવીર ૪૩,૦૦૦ વર્ષ જૂની વાંસળીઓની છે. બીજી તસવીર જાણીતા કલાકાર શ્રી-ચિન્મયની છે. ચારેય તસવીરો ઇંટરનેટ પરથી અવ્યાવસાયિક હેતુ માટે લીધી છે).

અવાજનું પ્રસરણ સમજવા માટે એમણે કલ્પના કરી કે વાતાવરણ હવાના નાના નાના ગોળાઓનું બનેલું છે. આ ગોળા વાતાવરણના વજનથી દબાયેલા હોય છે. પરંતુ સંકુચનનું બળ લવચિક હોય છે. એટલે સંકુચન અને વિસ્તરણથી અવાજ આગળ જઈ શકે. પ્રયોગો દ્વારા વાતાવરણના દબાણમાં ફેરફાર કરીને એનું માપ લઈ શકાય છે. આઈલરે ગણ્યું કે વાતાવરણનું વજન એક નળીમાં ૨૪૬૦ સ્ક્રૂપલ્સ ( એટલે કે લગભગ ૭૭૨ મિલીમીટર ) જેટલી ઊંચાઈ સુધી પારો ભરો અને તેનું જેટલું વજન થાય તેટલું હોય છે. અને તેમાં થતા ફેરફારને કારણે અવાજ આગળ જાય છે. એમણે કરેલ આ પાયાના કામ પછી તેમાં બીજા સુધારા થઈને આજની સમજણ આવી છે. એમ તો એમણે અવાજના ત્રણ પ્રકાર ગણાવ્યા, જેવા કે, આંધીનો અવાજ વગેરે, જે આજે પ્રચલિત વિચાર નથી. આંધી-તોફાન વખતે લવચિક દબાણમાં એકદમ મોટો ફેરફાર થાય છે; આથી મોટા ભયજનક ધ્વનિઓ પેદા થાય છે. આ બધા ધ્વનિઓનાં એમણે ગાણિતિક સમીકરણો આપ્યાં. આથી એક ધ્વનિ પછી બીજો જુદો ધ્વનિ પેદા કરવા માટે બે તાર વચ્ચે કે વાંસળીના બે છેદ વચ્ચે કેટલું અંતર હોવું જોઈએ તેનું શાસ્ત્રીય જ્ઞાન પ્રાપ્ત થયું.

નંબર થિયરી

આપણે શરૂઆતમાં જ જોયું કે આઈલરને સંખ્યાનું મોટું આકર્ષણ હતું. સંખ્યાઓમાં રસ લેતા વિદ્વાનો એક સંખ્યાના બંધારણનો અભ્યાસ કરતા હોય છે અને એ દરમિયાન પોતાની વિશેષ સર્જક શક્તિ દ્વારા અનુમાનો કરીને એક સંખ્યાને જુદા જુદા રૂપે રજૂ કરતા હોય છે. આ વિદ્વાનોને Algorist કહે છે. આપણા રામાનુજન પણ અલ્ગોરિસ્ટ હતા. સંખ્યાને જોતાં જ એનું વિશ્લેષણ કરવા માટે એમનું મન સળવળતું અને એમાંથી એ એવાં પરિણામો આપતા કે સામો માણસ ચકિત રહી જાય.આમાં એમની કલ્પનાશક્તિ પણ કામે લાગતી અને એમાંથી નવા નિયમ  (Algorithms) બની જતા. કોઈ કવિએ અમુક શા માટે લખ્યું એમ પૂછવાનું અર્થ વગરનું છે, તે જ રીતે અલ્ગોરિસ્ટને પણ એ પૂછવાનું અર્થ વગરનું છે કે એણે પરિણામ લાવવા માટે અમુક ફેરફાર શા માટે કર્યા. એ એના માટે સ્વાભાવિક હોય છે, એના કોઈ બંધાયેલા નિયમ નથી હોતા.

આઈલર આવી સમસ્યાઓ શોધતા. ખાસ કરીને પ્રાઇમ સંખ્યાઓમાં એમને રસ હતો. વર્ષો સુધી એમણે આ વિષયમાં કામ કર્યું, જો કે એમનાં આ સંશોધનો તો છેક ૧૮૪૯માં પ્રકાશિત થયાં. નંબર થિયરીના દાખલા આપણે આજે UPSC અને IIT, IISc, TIFR  અને બીજી ઉચ્ચ વિદ્યાસંસ્થાઓની ‘ક્વૉલિફાઇંગ’ પરીક્ષાઓમાં જોઈ શકીએ છીએ, જેમાં ગણિતના કોયડા જેવા સવાલો હોય છે. આના માટે પ્રોજેક્ટ આઈલરની એક વેબસાઇટ https://projecteuler.net/ ની મુલાકાત લેવા જેવી છે. એમાં ઉપર જમણી બાજુએ  Archives અને Recent વિભાગ આપેલા છે. બન્ને વિભાગમાં ગણિતનો ઉપયોગ કરવો પડે અને મગજ કસવું પડે એવા સવાલો છે. એમાંથી Recent વિભાગનો ૫૬૯મો સવાલ અહીં નમૂના રૂપે આપ્યો છે, મગજ કસવું હોય તો તૈયાર થઈ જાઓ!

એક ડૂંગરમાળામાં દરેક ડૂંગરનો ઢોળાવ એકસરખો જ 45° છે, અને દરેકની ઊંચાઈ પ્રાઇમ સંખ્યા pn છે. ડૂંગરોના ક્રમમાં k મા ડૂંગરના ઉપર ચડતા ઢોળાવની ઊંચાઈ p2k−1 છે અને નીચે તરફ જતો ઢોળાવ p2k છે. આ ડૂંગરમાળાની તળેટી પાસેથી શરૂ થતા ડૂંગરો નીચે દેખાડ્યા છે.

imageહવે, મહાન પર્વતારોહી તેન્ઝિંગ સૌથી નીચા ડૂંગરથી શરૂ કરીને એક પછી એક દરેક પર ચડે છે. દરેક ડૂંગરની ટોચ પર પહોંચીને એ પાછું વાળીને જૂએ છે કે એને પહેલાંના કેટલા ડૂંગરની ટોચ દેખાય છે. ઉપર એની દૃષ્ટિરેખા લાલ રંગમાં આપેલી છે જે ત્રીજા ડૂંગરથી શરૂ થાય છે.આ ડૂંગર પરથી તેન્ઝિંગને માત્ર બીજા ડૂંગરની ટોચ દેખાય છે (પહેલો ડૂંગર દૃષ્ટિરેખાની નીચે આવી જાય છે). એ જ રીતે, એ નવમા ડૂંગર પરથી ત્રણ ડૂંગરો પાંચમા, સાતમા અને આઠમાની ટોચ જોઈ શકે છે.

ધારો કે kમા ડૂંગર પર પહોંચ્યા પછી એને દેખાતી ટોચોની સંખ્યા P(kછે તો એનો અર્થ એ કે P(3)=1(ત્રીજા ડૂંગર પરથી દેખાતી ટોચ) અને P(9)=3 (નવમા ડૂંગર પરથી દેખાતી ટોચો).

અને તે ઉપરાંત k=1100P(k)=227k=1100P(k)=227 છે. ( આ પ્રતીકને સિગ્મા કહે છે એ ૧થી k સુધીનાં બધાં પદોનો સરવાળો સૂચવે છે).

તો k=12500000P(k)k=12500000P(k) શોધો.

આઈલરે નક્શા બનાવવામાં અને નૌકા માર્ગો નક્કી કરવામાં પણ આજે પણ કામ આવે તેવું પ્રદાન કર્યું છે.

પાછલું જીવન

સેંટ પીટર્સબર્ગમાં જીવનનાં મહત્ત્વનાં વર્ષો ગાળ્યા પછી પ્રશિયાના રાજવી ફ્રેડરિકે એમને પાછા ફરવા આમંત્રણ આપ્યું. આ વખતે આઈલરની એક આંખની જ્યોતિ બુઝાઈ ગઈ હતી. ફ્રેડરિકને ગણિતમાં તો ખાસ સૂઝ નહોતી પડતી પરંતુ એ આઈલરને પોતાના દરબારમાં રાખવા માગતો હતો.

આઈલર સ્વભાવે બહુ સૌમ્ય હતા અને ઘમંડનું નામ નહોતું. એટલે એમના કોઈ વિદ્યાર્થીએ કંઈ નવું કર્યું હોય તો આઈલર એને વિના સંકોચે યશ આપતા. એક શિષ્યે એમની સમક્ષ એક રીત રજૂ કરી તે આઈલરની પોતાની રીત કરતાં પણ ચડિયાતી હતી. આઈલરે એના પર કામ કરીને વિકાસ કર્યો, પણ જ્યાં સુધી શિષ્યનું કામ પ્રકાશિત ન થયું ત્યાં સુધી એમણે પણ પોતાનું કામ પ્રકાશિત ન કર્યું.

imageફ્રેડરિકના દરબારમાં જાણીતો ચિંતક વૉલ્ટેયર પણ હતો. ફ્રેડરિકને શું ગમે તેની વૉલ્ટેયરને બરાબર સમજ પડતી હતી. આઈલર ધાર્મિક વિચારોવાળા ચિંતક હતા, પણ વૉલ્ટેયરની સરખામણીએ એમને ન મુકાય. આમ છતાં આઈલર ફિલોસોફીની ચર્ચાઓમાં પણ ભાગ લેતા અને વૉલ્ટેયર એમની ફિલોસોફીનાં ચીંથરાં ઉડાડતો. બધા આઈલર પર હસતા. આઈલરને પોતાની ભૂલ સમજાતી ત્યારે એ પણ હસવામાં ભળી જતા. ફ્રેડરિક ઇચ્છતો હતો કે આઈલર એનો વિષય ન હોય તેમાં ન બોલે. આંખની લાચારીને કારણે પણ આઈલરની રીતભાત સામાન્ય નહોતી રહી. આમ ફ્રેડરિકનો અણગમો વધી ગયો હતો.

એણે અંતે આઈલરને હટાવીને બીજા એવા જ જાણીતા ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી અને આઈલરથી નાના ઝ્યાં લે’ રોં ડલ-અન-બેર (Jean le Rond d’Alembert)ને એમના સ્થાને ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે સ્થાન આપવાનું નક્કી કર્યું ડલ-અન-બેર જ્યારે આ માટે ફ્રેડરિકને મળ્યા ત્યારે એમને ખબર પડી કે આઈલરને હટાવીને એમને આ સ્થાન અપાય છે. એમણે ફ્રેડરિકને મોઢામોઢ જ કહી દીધું કે આઈલરનું સ્થાન લઈ શકે એવો કોઈ ગણિતશાસ્ત્રી નથી! એમણે આ પદ ઠુકરાવી દીધું.

તે પછી આઈલરનું મન ઊઠી ગયું હતું. એમણે રશિયાની ઝરીના કૅથેરાઇનને ફરી લખ્યું. રાણી તો તૈયાર જ હતી એટલે એણે આઈલરને સન્માન પૂર્વક પાછા બોલાવ્યા. એ ફરી સેંટ પીટરસબર્ગ ઍકેડેમીમાં જોડાયા અને મૃત્યુપર્યંત ત્યાં જ રહ્યા. અહીં એમની બીજી આંખ પણ ગઈ, પત્નીનું મૃત્યુ થયું. સંતાનો પુખ્ત વયે પહોંચ્યાં હતાં પરંતુ અંગત જરૂરિયાતને જોઈને એ્મણે પોતાની પત્નીની એક ઓરમાન બહેન સાથે ફરી લગ્ન કર્યાં એ હજી જુવાન હતી અને આઈલર વૃદ્ધ થઈ ગયા હતા, પરંતુ બન્નેનું જીવન સારું રહ્યું.

અંતિમ દિવસોમાં એમનું ધ્યાન ધર્મ તરફ વળી ગયું હતું.આમ છતાં આ પ્રજ્ઞાચક્ષુ ગણિતશાસ્ત્રીએ ગણિત ન છોડ્યું. એમના વિચારો સમીકરણ બનીને કોઈ બીજાના હાથે વહેતા જ રહ્યા. ૧૭૮૩ની ૧૮મી સપ્ટેમ્બરે બપોરે એમણે બલૂનના આકાશમાં જવાના નિયમો માટે પોતાની સ્લેટમાં ગણતરીઓ કરી. રાતે બીજા એવા જ પ્રખર ગણિત શાસ્ત્રી અને ખગોળ વિજ્ઞાની ઍન્ડર્સ જોહાન લેક્સેલ[i] સાથે ભોજન લીધું. પછી બે ઘડી મન બહેલાવવા પોતાના પૌત્રને બોલાવ્યો. એની સાથે રમતાં એમને સ્ટ્રોક આવ્યો, એ્મના મોઢામાંથી પાઇપ પડી ગઈ અને એ એટલું જ બોલી શક્યાઃ “હું જાઉં છું”. બસ, કોન્ડોર્સેના શબ્દોમાં કહેતાં આઈલરે જીવવાનું અને આંકડાઓ પાડવાનું રોકી દીધું!

રશિયા અને પ્રશિયા એમને ભૂલ્યાં નહીં અને એ્મના માનમાં ટપાલ ટિકિટો અને ચલણી નોટો પણ બહાર પાડી છે. પહેલી ટિકિટ ભૂતપૂર્વ જર્મન લોકશાહી પ્રજાસત્તાક (સામ્યવાદી પ્રભાવ હેઠળના પૂર્વ જર્મની)ની છે. બીજી તસવીર રશિયાએ આઈલરના ૨૫૦મા જન્મદિને ૧૯૫૭માં બહાર પાડેલી ટપાલ ટિકિટની છે.ત્રીજી તસવીર સ્વિસ ફ્રૅન્કની છે.

imageimageimage


[i] *(લેક્સેલે ધૂમકેતુ અને ગ્રહોની ગતિનો અભ્યાસ કર્યો હતો અને ચાર્લ્સ મેસિયેએ સૌ પહેલાં જોયેલા ધૂમકેતુ D/1770 L1ની ગતિનો લેક્સેલે અભ્યાસ કર્યો એટલે એ ધૂમકેતુ Lexell’Comet  તરીકે પણ ઓળખાય છે. ૧૭૭૦માં એ પૃથ્વીની નજીક આવી ગયો હતો અને તે પછી ક્યાંક ગુમ થઈ ગયો છે. ચંદ્ર પરની એક ખાઈને પણ લેક્સેલનું નામ અપાયું છે તેમ જ એક ઉલ્કાનું નામ પણ 2004 Lexell છે).

Mathematicians– 3 – Bernaulli Family

આપણે ન્યૂટન અને એમના પ્રતિસ્પર્ધી લાઇબ્નીસનો પરિચય પહેલા બે લેખમાં મેળવ્યો. લાઇબ્નીસે યુરોપના ગણિતજ્ઞો સમક્ષ એક કોયડો રજૂ કર્યો હતો, જેનો જવાબ ન્યૂટને પોતાનું નામ વાપર્યા વગર જ આપી દીધો. આ કોયડો પૂછવામાં લાઇબ્નીસની સાથે એક બર્નોલીનું નામ પણ આપણે વાંચ્યું. આ બર્નોલી કોણ હતા?

વાત એમ છે કે આ બર્નોલી એકલા નહોતા. આખો બર્નોલી પરિવાર ગણિતશાસ્ત્રીઓનો છે અને એ એક જ પરિવારમાંથી આઠ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દુનિયાને મળ્યા, તેમાંથી ત્રણનું પ્રદાન તો સંપૂર્ણપણે મૌલિક હતું. આજે આ આખા પરિવાર વિશે વાત કરીએ અને એમણે શું પ્રદાન કર્યું તેની ચર્ચા કરીશું. અહીં વંશાવલી આપી છે. તેમાં પીળા વર્તુળવાળા બર્નોલીઓએ મૌલિક પ્રદાન કર્યું છે, જ્યારે વાદળી વર્તુળવાળા બર્નોલીઓ પણ ગણિત ક્ષેત્રે અગ્રગણ્ય રહ્યા છે. બર્નોલી પરિવારે ન્યૂટન, લાઇબ્નીસ, ઑઈલર અને લૅગ્રાન્જની બરાબરીમાં રહે તેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓ ત્રણ પેઢી સુધી આપ્યા. જોવાનું એ છે કે જૅકબ અને જોહાન બન્ને ભાઈઓ વચ્ચે હૂંસાતૂંસી પણ હતી અને બન્ને એકબીજાને પછાડવા માટે મંડ્યા રહેતા. આનો લાભ ગણિતને બહુ મળ્યો છે!

બર્નોલી પરિવારની હિજરત

૧૫૬૭માં સ્પેનના રાજા ફિલિપે રોમન કૅથોલિક ધર્મને રાજ્યનો ધર્મ બનાવી દીધો અને વિદ્રોહીઓ તેમ જ બીજા ધર્મના લોકો પર દમનનો કોરડો વીંઝ્યો. બર્નોલી પરિવાર મૂળ તો હૉલૅંડનો હતો પણ હવે સ્વિટ્ઝર્લૅંડ ભાગી છૂટ્યો અને ત્યાં બૅસલમાં વસી ગયો. એ કૅલ્વિન સંપ્રદાયના હતા એટલે સ્પેનમાં રહેવું એટલે મોતને નિમંત્રણ આપવા જેવું હતું.

પરિવારના વડવા નિકોલસનો પેઢીઓથી ચાલતો મસાલાનો ધમધમતો વેપાર હતો. એનો ખ્યાલ હતો કે પુત્ર જૅકબ પણ વેપારમાં જોડાશે પણ એણે પોતાનો જુદો રસ્તો લીધો. જો કે એનાં માતાપિતાને પસંદ ન આવ્યું અને ભણવું જ હોય તો ફિલોસોફી અને થિયોલૉજી ભણવાની ફરજ પાડી. જૅકબે એનો અભ્યાસ તો કર્યો પરંતુ તે દરમિયાન જ ફ્રાન્સ, ઇંગ્લૅંડ, જિનીવા, નેધરલૅંડ્સ વગેરેની મુલાકાત લીધી. ત્યાં રૉબર્ટ બૉઇલ જેવા વૈજ્ઞાનિકો અને બીજા ગણિતશાસ્ત્રીઓ સાથે સંપર્કમાં આવવાનું થયું આના પરિણામે એને ગણિત અને ખગોળવિજ્ઞાનનું આકર્ષણ પેદા થયું, પરંતુ બન્ને ક્ષેત્રો એને અટપટાં લાગ્યાં. એટલે એમાં એ ઊંડો ઊતર્યો. પિતાના વિરોધ છતાં એણે લાઇબ્નીસના કલનગણિતમાં પ્રવીણતા મેળવી લીધી.

આજે આપણે જેને Integral Calculus કહીએ છીએ એ નામ જૅકબે આપ્યું છે, લાઇબ્નીસે તો એને Calculus Summatorium નામ આપ્યું હતું. એણે ૧૬૯૦માં એક અભ્યાસપત્ર લખ્યો તેમાં પહેલી વાર Integralનામનો ઉપયોગ કર્યો.

isochrone-curve-%e0%aa%95%e0%ab%87-tautochrone-curveજૅકબ બર્નોલીએ એ પણ દેખાડ્યું કે એક વક્ર પર ત્રણ જુદા જુદા બિંદુએ કોઈ પદાર્થો મૂકેલા હોય તે ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ આ સાથેના આલેખમાં દેખાડ્યા પ્રમાણે એકી સાથે એક જ સમયે તળિયે આવશે. આને  Isochrone curve  કે Tautochrone curve  કહે છે. (tauto એટલે same અને Iso એટલે Equal; Chrono એટલે સમય).

જેકબ બર્નોલી જેકબ બર્નોલી અને એમના ભાઈ જોહાન બર્નોલી તેમજ જોહાનના પુત્ર ડૅનિયલ બર્નોલીનાં સમીકરણો આજે ઇજનેરી ક્ષેત્રમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. મોટા ઝૂલતા પુલ બનાવવામાં,  પાઇપલાઇનમાં પાણી, તેલ કે ગૅસનું દબાણ કેટલું હોવું જોઈએ તે નક્કી કરવામાં એના વિના ચાલતું નથી. આમ આપણને એમ લાગે કે આ બધી ગણિતની માથાફોડ કાગળ પર શા માટે કરી હશે; એમાં એમને અંગત રીતે મગજ કસવા સિવાય શું મળ્યું હશે. પરંતુ આજની ઈજનેરી ટેકનોલૉજીમાં એની ભૂમિકા અનિવાર્ય છે. ગણિત જીવન સાથે જોડાયેલું છે તેની એમને ચોખ્ખી પ્રતીતિ હતી. સામાન્ય દેખાતી વાતની પાછળ બ્ર્રહ્માંડનો કોઈ નિયમ કામ કરે છે અને એને સૂત્રાતમક રીતે સમજવી શકાય છે એ તો આપણને ગણિત જ શીખવી શકે.

જૅકબે ઘાતાંકોની શ્રેણી (Exponential series) આપી તે ઉપરાંત Probability Theory (સંભાવનાના ગણિતશાસ્ત્ર)માં પણ મહત્ત્વનું પ્રદાન કર્યું છે. બહુ મોટી સંખ્યાઓ પરથી સૅમ્પલ બનાવીને સંભાવનાની આગાહી કરવા માટેના નિયમો આજે Bernoulli Law of Large numbers તરીકે ઓળખાય છે. આવાં ક્ષેત્રોમાં વ્યવહારના સ્તરે કામ કરતા લોકો કદાચ બર્નોલી પરિવારના એક પણ સભ્યનું નામ પણ જાણતા ન હોય પરંતુ રોજબરોજના કામમાં એમની મુલાકાત જેકબ બર્નોલી સાથે થતી જ રહે છે.

જૅકબ બર્નોલી એમના મૃત્યુ સુધી બેસલ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રાધ્યાપક રહ્યા. એમના પછી એના નાના ભાઈ જોહાનને આ સ્થાન આપવામાં આવ્યું.

જોહાન બર્નોલી

જોહાન બર્નોલીત્રણ ભાઈઓમાં જોહાન સૌથી નાનો. એને પણ પિતા નિકોલસે સારું શિક્ષણ આપ્યું કે જેથી એ ઘરના ધંધામાં જોડાય. પરંતુ જોહાને જૅકબનો જ માર્ગ લીધો. એ બેસલ યુનિવર્સિટીમાં મૅડિકલ સાયન્સ માટે દાખલ થયો. પણ એ વખતે જૅકબ ત્યાં ગણિતનો પ્રોફેસર હતો. જોહાનનું મન પણ ગણિત તરફ વળ્યું. એ જૅકબ પાસેથી ગણિત શીખ્યો અને લાઇબ્નીસના કલનગણિતમાં પાવરધો બની ગયો. હવે એ મોટાભાઈને ગણકારતો નહોતો, ઉલટું એના વિશે જાહેરમાં પણ ઘસાતું બોલતો.

જૅકબ અને જોહાનના સ્વભાવમાં ઘણું અંતર હતું જૅકબ શાંત હતો, પરંતુ એને પોતાના વિશે બહુ ઊંચો ખ્યાલ હતો અને એને પોતાની પ્રશંસા સાંભળવાની જ ટેવ પડી હતી. જોહાન સ્વભાવે તુંડમિજાજી હતો. એ કોઈને, જૅકબ સહિત, પોતાની બરાબર માનવા તૈયાર નહોતો. પરંતુ ગણિતમાં એની કાબેલિયતનો ઇનકાર થઈ શકે તેમ નથી. એ જમાનામાં યુરોપમાં કૅલ્ક્યુલસ સમજનારા ગણિતશાસ્ત્રીઓ બહુ ગણ્યાગાંઠ્યા હતા. પરંતુ જૅકબ અને જોહાને એના પર સારી પકડ મેળવી હતી.

વૈજ્ઞાનિક તરીકે જોહાનનું પ્રદાન જૅકબ કરતાં મોટું છે. ખુદ ન્યૂટન ગુરુત્વાકર્ષણ અંગેના કોઈક સવાલ ઉકેલી શક્યો નહોતો, પણ જોહાને એ ઉકેલી આપ્યા. એણે ડિફરેન્શિયલ કૅલ્ક્યુલસનો ખાસ અભ્યાસ કર્યો અને એમાંથી એણે ‘Brachistochrone problemનો જવાબ શોધી આપ્યો. (Brachistochrone ‘બ્રેકિસ્ટો’ એટલે ટૂંકામાં ટૂંકો અને ‘ક્રોન’ એટલે સમય). સવાલ એ હતો કે brachistochrone-problem%e0%aa%a8%e0%ab%8b-%e0%aa%9c%e0%aa%b5%e0%aa%be%e0%aa%acએક બિંદુ પરથી એક મણકો ગુરુત્વાકર્ષણના બળને કારણે નીચે દદડે તો નીચેના બિંદુ પર ઓછામાં ઓછા સમયમાં પહોંચવા માટે કયો માર્ગ હોવો જોઈએ? જોહાને એનો અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગ દેખાડ્યો. આ સાથે આપેલી આકૃતિ દેખાડે છે કે મણકો ઝૂલતી પટ્ટી પરથી જાય તો ઓછામાં ઓછા સમયમાં નીચે પહોંચી જાય.

આ સવાલના જવાબ આપનારા માત્ર પાંચ જણ હતાઃ જોહાન પોતે, જૅકબ, લાઇબ્નીસ, લૅ’હૌપિટલ અને ન્યૂટન. જો કે, ન્યૂટને એમાં પોતાનું નામ નહોતું આપ્યું. પરંતુ એનું સમીકરણ જોઈને જ જોહાન બર્નોલીના ઉદ્‌ગાર નીકળી ગયા હતા કે, આહ, મેં સિંહને એના પંજા પરથી ઓળખી લીધો!જો કે કેટલાયે વિદ્વાનો માને છે કે જેકબ બર્નોલીનો જવાબ પણ બરાબર હતો પણ એમાં જોહાન જેવી ચમક નહોતી. એમનું કહેવું છે કે વેરિએબલ્સના કૅલ્ક્યુલસનાં બીજ તો જેકબના સમીકરણમાં છે પણ જોહાને એને અનુરૂપ પોતાનો જવાબ સમજાવ્યો એટલે વેરિએબલ્સનું કૅલ્ક્યુલસ બનાવવાનો યશ એને મળે છે.

જોહાને બીજું ઘણું કર્યું જેમ કે સમુદ્રમાં મુસાફરી કરવા માટે દિશા સૂચનનું ગણિત પણ એણે શોધ્યું આ ઉપરાંત એણે કરેલી ઘણી શોધોનો યશ હૌપિટલને ફાળે ગયો છે કારણ કે હૌપિટલ અને જોહાન વચ્ચે કરાર થયા હતા કે જોહાન નિયમિત રીતે અમુક પગાર લે અને હૌપિટલને પોતાના સંશોધનપત્રો સોંપતો જાય!

બ્રેકિસ્ટોક્રોનના ઉકેલનું સમીકરણ એક છેદ વાટે મોટી ટાંકીમાંથી પાણી નીકળીને નાની ટાંકીમાં કેટલા દબાણે જશે?આજે ઘણી રીતે કામ આવે છે. એનો નમૂનો આ રહ્યોઃ આકૃતિમાં દેખાડ્યું છે કે બે ટાંકી જોડેલી છે. અને બન્નેમાં પાણીની સપાટી એકસરખી નથી. હવે એક છેદ વાટે મોટી ટાંકીમાંથી પાણી નીકળીને નાની ટાંકીમાં કેટલા દબાણે જશે? દબાણ ઓછું હોય તો વેગ વધુ હોય. એટલે આપણે આદર્શ સમય નક્કી કરવા માટે દબાણ અને વેગ બન્ને જાણવાં જોઈએ.

આમ જ્યાં પણ પ્રવાહી, વેગ અને દબાણની વાત આવે ત્યાં બર્નોલીનું સમીકરણ લાગુ પડતું જ હશે.

ડેનિયલ બર્નોલી

ડેનિયલ બર્નોલીજોહાનના પુત્ર ડેનિયલ બર્નોલીએ પણ કેલ્ક્યુલસ પર પોતાની છાપ છોડી છે. જોવાનું એ છે કે જોહાને પણ પોતાના પિતાની જેમ જ પુત્ર સાથે કર્યું. એણે ઘણું ઇચ્છ્યું કે ડૅનિયલ ગણિતના ક્ષેત્રમાં ન જાય, પણ ડૅનિયલે એની અવગણના કરી અને ગણિત જ પસંદ કર્યું.

એ જમાનો જ જુદો હતો. એમાં નવી શોધખોળો કરવા માટે ઉત્સાહ હતો. ગણિત ક્ષેત્રે લોગેરિધમ, નંબર થિયરી, ઍનાલિટિક જ્યોમેટ્રીનો વિકાસ થયો. તે ઉપરાંત, લોલકવાળું ઘડિયાળ, બૅરોમીટર, માઇક્રોસ્કોપ, ટેલીસ્કોપ, થર્મોમીટર શોધાયાં અને નીચે પડતા પદાર્થની ગત્યાત્મક શક્તિ વિશે દુનિયાને જાણવા મળ્યું.

આ સંજોગોમાં જોહાનનો પુત્ર અને બર્નોલી કુટુંબનો એક નબીરો ગણિતથી દૂર રહે તે શક્ય નહોતું. પિતાએ એને વેપારમાં નાખવાની કોશિશ કરી, પરંતુ ડૅનિયલે બૅસલ યુનિવર્સિટીમાં લૉજિક અને ફિલોસોફીનો અભ્યાસ પસંદ કર્યો. એ વખતે એની ઉંંમર માત્ર ૧૩ વર્ષની હતી. પછી પિતાએ એને મૅડિકલ લાઇનમાં નાખ્યો. આના માટે ડેનિયલ જર્મનીના હાઇડલબર્ગની પાડુઆ યુનિવર્સિટીમાં જોડાયો. પરંતુ એની તબીયત બગડતાં મૅડિકલમાં આગળ ન વધ્યો પણ એ દરમિયાન એણે ‘મૅથેમૅટિકલ એક્સરસાઇઝીસ’ નામનું પુસ્તક ૧૭૨૪માં, માત્ર ૨૪ વર્ષની ઉંમરે પ્રકાશિત કર્યું.

૧૭૨૫માં એણે સમુદ્રમાં જહાજો વાપરી શકે એવો આવર-ગ્લાસ બનાવ્યો. એ એવો હતો કે જહાજ ગમે તેટલું હાલકડોલક થતું હોય, રેતીની નીચે પડવાની ગતિ અચળ જ રહે. પૅરિસ ઍકેડેમીએ એને આ માટે ઇનામ આપ્યું.

ડૅનિયલ દેખાડે છે કે બ્લડ પ્રેશર કેમ માપવું

કલનશાસ્ત્ર બધાં ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગી છે. ડૅનિયલ બર્નોલીનું મુખ્ય કામ પ્રવાહી અને એના દબાણને માપવાના ક્ષેત્રમાં રહ્યું એને વિચાર આવ્યો કે લોહીનું પણ દબાણ માપી શકાય. આ વિચાર આવવાનું કારણ એ કે એ ડૉક્ટર પણ હતો!

ડૅનિયલ બર્નોલીનો પ્રયોગ ૧૭૨૫માં જ એને લોહીનું દબાણ અને વેગ, તેમ જ એ બન્ને વચ્ચેનો સંબંધ જાણવાની ઉત્સુકતા થઈ. લોહી માપવાનું ઉપકરણ બનાવવા માટે એણે બીજા મહાન ગણિતજ્ઞ ઑઈલર (Euler) નો સાથ લીધો. પ્રયોગ તરીકે ડૅનિયલે એક બન્ને છેડેથી ખુલ્લી હોય તેવી નળી લીધી અને એમાં કાણું પાડ્યું. એમાંથી પ્રવાહી પસાર કરતાં એને જોવા મળ્યું કે પ્રવાહી કેટલું ઊંચું જાય છે, તેનો આધાર એના દબાણ પર છે. સાથેની આકૃતિમાં ડૅનિયલ બર્નોલીનો પ્રયોગ જોવા મળશે.

આ શોધ પછી આખા યુરોપમાં ડૉક્ટરો આ રીતે બ્લડ પ્રેશર માપતા થઈ ગયા. દરદીની નસમાં સોય ભોંકીને લોહી, આંકડાઓનાં નિશાનવાળી નળીમાં ચડાવાતું. ૧૮૯૬માં બ્લડ પ્રેશર માપવાનું નવું, આજે વપરાય છે તેવું, ઉપકરણ શોધાયું, ત્યાં સુધી, એટલે કે ૧૭૦ વર્ષ સુધી ડેનિયલ બર્નોલીની રીત જ ઉપયોગમાં લેવાતી હતી. એ જ રીતે વિમાનને હવાનો સામનો કરવો પડતો હોય છે. એ હવાનો વેગ (air speed) જાણવા માટે તો હજી પણ બર્નોલીની જ રીત વપરાય છે.

રશિયામાં

દરમિયાન એના પુસ્તક ‘મૅથેમૅટિકલ એક્સરસાઇઝીસ’ની ખ્યાતિ રશિયા સુધી પહોંચી ગઈ હતી. રશિયાની રાણી કૅથેરાઇન પહેલીએ ગણિત અને વિજ્ઞાનને પ્રોત્સાહન આપવા માટે ઘણું કર્યું છે. સેંટ પીટર્સબર્ગની શાહી અકાદમીમાં રાણીને કારણે દુનિયાના ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને વૈજ્ઞાનિકો એકઠા થયા હતા. કૅથેરાઇને ડેનિયલને પણ આમંત્રણ આપતાં એ ત્યાં ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે ગયો. ડેનિયલનો ભાઈ નિકોલસ તો એનાથીયે પહેલાં સેંટ પીટર્સબર્ગમાં કામ કરતો હતો.

૧૭૨૫ અને ૧૭૪૯ વચ્ચે ડૅનિયલને પૅરિસ ઍકેડેમીના દસ પુરસ્કાર મળ્યા. દરેક પુરસ્કાર જુદા જુદા ક્ષેત્ર માટે હતો – ખગોળવિજ્ઞાન, ગુરુત્વાકર્ષણ, સમુદ્રી ભરતી, ચુંબકત્વ, સમુદ્રમાં જહાજોની હિલચાલ વગેરે.

બાપદીકરા વચ્ચે હરીફાઈ

હાઇડ્રોડાયનૅમિકાબધા પુરસ્કારોમાં ૧૭૩૪માં એને મળેલો પુરસ્કાર ખાસ ઉલ્લેખ માગી લે છે. એ વર્ષે પૅરિસ ઍકેડેમીનો પુરસ્કાર પિતા જોહાન અને પુત્ર ડૅનિયલને સંયુક્ત રીતે મળ્યો! બસ, જોહાનની ખફગી પુત્ર પર ઊતરી. એણે ડેનિયલને ઘરમાં આવવાની બંધી ફરમાવી દીધી. બન્ને વચ્ચેની કડવાશ એટલી વધી ગઈ કે ડૅનિયલે એક વર્ષ પહેલાં ૧૭૩૩માં ‘હાઇડ્રોડાયનૅમિકા’ નામનું પુસ્તક લખ્યું હતું. જોહાનને આની ખબર હતી. એણે ૧૭૩૯માં ‘હાઇડ્રોલિકા’ નામનું પુસ્તક લખીને પ્રસિદ્ધ પણ કરી દીધું. પરંતુ, આક્ષેપ છે કે એણે દીકરાના પુસ્તકમાંથી મોટે પાયે તફડંચી કરી હતી! જોહાને એવું દેખાડ્યું કે એનું પુસ્તક તો સાત વર્ષ પહેલાં, ૧૭૩૨માં જ પ્રકાશિત થઈ ગયું હતું, એટલે કે જાણે ડૅનિયલના પુસ્તકથી એક વર્ષ પહેલાં! વાંચનારને એમ લાગે કે પુત્રે પિતાના પુસ્તકમાંથી તફડંચી કરી છે. જો કે, થોડા જ વખતમાં જોહાનનો ભંડો ફૂટી ગયો. તે પછી ડૅનિયલે માત્ર કૅલ્ક્યુલસ પર જ ધ્યાન આપ્યું પણ એ એંસી વર્ષ જીવ્યો ત્યાં સુધી એનું નામ દુનિયાની બધી વિદ્યાસંસ્થાઓમાં માનભેર લેવાતું રહ્યું.

0-00-0

જૅકબ અને જોહાન. જોહાન અને ડેનિયલ. જોહાનનો અદેખો સ્વભાવ ભાઈ અને દીકરા બન્નેને નડ્યો. પરંતુ ગણિત અને વિજ્ઞાનને એનો ફાયદો પણ થયો કારણ કે એમણે ગણિત પર વધારે ને વધારે કામ કરીને વેર વાળ્યું. આજની દુનિયામાં ઘણી એવી ટેકનોલોજી છે જેના પાયામાં બર્નોલી પરિવારના સભ્યોની બુદ્ધિમત્તા, વેરવૃત્તિ અને ખંત છે!

(_)X(_)X(_)X(_)X(_)

%d bloggers like this: