Mathematicians – 8 – Évariste Galois

(ગૅલ્વા ફ્રેન્ચ નામ છે અને એનો સ્પેલિંગ Galois થતો હોવાથી આપણા દેશમાં નામનો ઉચ્ચારગૅલોઇસખોટી રીતે રૂઢ થઈ ગયો છે. oisનો ઉચ્ચારવાથાય છે. આથી અહીં મેં દુનિયા બોલે છે તેમગૅલ્વા રાખ્યું છે. ફ્રેન્ચમાં આવા ઘણા શબ્દો છે

દીપક ધોળકિયા).

ગયા મહિને આપણે નીલ્સ આબેલની ઝળહળતી,પણ ટૂંકી કારકિર્દી વિશે જાણ્યું. આજનો આપણો હીરો છે, એવરિસ્તે ગૅલ્વા. એ ગણિતની દુનિયાનો પણ હીરો છે. એનું મૃત્યુ માત્ર ૨૦ વર્ષની ઉંમરે થયું. ગણિતજગતના આકાશમાં તેજપુંજ જેવા તારાની જેમ ચમકીને એ થોડા વખતમાં અલોપ થઈ ગયો પરંતુ એના પ્રકાશથી આજે પણ ગણિતજગત આલોકિત છે. આ વીસ વર્ષનો છોકરો ખરેખર, કોઈ પણ વીસ વર્ષના છોકરા જેવો જ હતો. એ કંઈ ચોપડીમાં મોઢું ઘાલીને ઘરમાં ઘૂસીને બેસનારો છોકરો નહોતો. એણે બધી જાતનાં અળવીતરાં કર્યાં, જે કોઈ પણ વીસ વર્ષનો છોકરો કરે; અને એમાં જ પોતાના જીવનથી હાથ ધોઈ બેઠો. ઈ. ટી, બેલ અકળાઈને લખે છે કે નૈસર્ગિક પ્રતિભા અને એટલી જ પ્રખર મૂર્ખતાનો સમન્વય ક્યાંય જોવો હોય તો ગૅલ્વાનું જીવન જૂઓ! આ ટૂંકા પણ તેજોમય જીવનની આજે વાત કરીએ. clip_image001

જીવનની શરૂઆતનાં વર્ષો

૨૫મી ઑક્ટોબર ૧૮૧૧ના પૅરિસ પાસેના એક ગામમાં નિકૉલસ-ગાબ્રિયેલ ગૅલ્વાના ઘરે ઍવરિસ્તેનો જન્મ થયો. પિતા નિકોલસ દાર્શનિક અને સમાજના અગ્રગણ્ય નાગરિક હતા, એ રાજાશાહીના પ્રખર વિરોધી અને વ્યક્તિસ્વાતંત્ર્યના હિમાયતી હતા.

૧૮૧૪માં નેપોલિયન છ રાષ્ટ્રોના મોરચા સામે પરાજિત થઈ ગયો અને એને એક સંધિ હેઠળ ફ્રાન્સના સમ્રાટ પદેથી હટાવીને ઇટલીના ઍલ્બા ટાપુ પર મોકલી દેવાયો હતો.તે સાથે સાથી રાષ્ટ્રોએ ફ્રાન્સમાં મૂળ રાજાશાહીની પુનઃસ્થાપના કરી. પરંતુ સંધિની અવગણના કરીને નેપોલિયન ૧૮૧૫માં સો દિવસ (લે સાઁ ઝુર) માટે ફ્રાન્સ આવ્યો અને સત્તા સંભાળી લીધી. તે પછી વૉટર્લૂમાં એનો પરાજય થયો અને એને સેન્ટ હેલેના ટાપુ પર તરીપાર કરવામાં આવ્યો. એવરિસ્તેના પિતા નિકોલસ-ગાબ્રિયેલ આ ‘સો દિવસ’ દરમિયાન મેયર પણ બન્યા. જો કે તે પછી લૂઈ અઢારમાનું શાસન શરૂ થયું ત્યારે પણ એમણે વફાદારીથી નોકરી કરી. આ ઘરમાં એવરિસ્તેના જીવનનાં પ્રથમ ૧૧ વર્ષ તો આનંદથી વીત્યાં,

એવરિસ્તેને રાજાશાહીનો વિરોધ પિતા તરફથી વારસામાં મળ્યો હતો. એ જ રીતે પિતાને કવિતાઓ લખવાનો પણ શોખ હતો. એવરિસ્તે પણ કુટુંબના પ્ર્સંગોએ કવિતાઓ રચીને સંભળાવતો. માતા પણ સ્વતંત્ર સ્વભાવની, રાજાશાહીના જુલમોની વિરોધી હતી. આમ એવરિસ્તેને ગણિત મા અથવા બાપ તરફથી મળ્યું હોય એમ નથી, એ એનું પોતાનું જ હતું.

૧૨ વર્ષની ઉંમર સુધી તો માતા જ એની શિક્ષક હતી. તે પછી એવરિસ્તેને શાળાએ મોકલવામાં આવ્યો. એવરિસ્તેએ રાજાશાહી અને ક્રાન્તિના સમયના અત્યાચારોની વાતો બહુ સાંભળી હતી, પણ અહીં વિદ્યાર્થીઓ પર નજર રાખનાર એક શિક્ષકની ક્રૂરતા એણે નજરોનજર જોઈ. જો કે એની માતાની તાલીમને લીધે એનો અભ્યાસ સારો ચાલતો હતો અને એને ઇનામો પણ મળતાં રહ્યાં. પરંતુ શાળાના અનુભવોને કારણે એનામાં ન્યાયવૃત્તિએ બહુ મજબૂત મૂળિયાં નાખ્યાં.

ગણિત તરફ

શાળાના બીજા વર્ષથી સાહિત્યમાં રસ ઓછો થવા લાગ્યો અને ગણિત તરફ મન વળવા લાગ્યું. એનું પરિણામ ખરાબ આવ્યું. સાહિત્યમાં ખરાબ માર્ક્સ આવતાં એને પાછલા ધોરણમાં ઉતારી મૂકવામાં આવ્યો. એ વખતે ગણિત તો એક વધારાના વિષય જેવું હતું. ગૅલ્વા જેમ તેમ પાસ થઈ ગયો. એવામાં એના હાથમાં લેઝેન્દર (Legendre)ની ભૂમિતિ આવી ગઈ, કોઈને પણ એ બરાબર સમજવામાં બે વર્ષ તો લાગે જ, પણ ગૅલ્વાને એમાં રસ પડ્યો અને નવલકથા વાંચતો હોય તેમ ચોપડીના પહેલા પાનાથી છેલ્લા પાના સુધી એણે એકીસાથે આખી ચોપડી પૂરી કરી નાખી. પરંતુ બીજગણિત માટે એને સખત નફરત હતી. પાઠ્યપુસ્તકની ચોપડી હાથમાં આવતાં જ એણે જોઈ નાખી અને ફેંકી દીધી. એમાં સર્જનાત્મક ગણિતનો અંશમાત્ર એને જોવા ન મળ્યો. વર્ગમાં શીખવાડાતું બીજગણિત એની બુદ્ધિપ્રતિભાને પડકારતું નહોતું.

લેઝેન્દરની ભૂમિતિનો પરિચય તો એને થઈ જ ગયો હતો. એને સમજાઈ ગયું હતું કે સર્જક પ્રતિભા એટલે શું! એટલે એણે બીજગણિતમાં પોતાની રીતે કામ કરવાનું શરૂ કર્યું. એણે એના વખતના પ્રખર ગણિતજ્ઞ લૅગ્રાન્જને વાંચવાનું શરૂ કર્યું. તે પછી વારો આવ્યો આબેલનો. આટલું વાંચી નાખ્યા પછી વર્ગમાં શીખવાડાતું ગણિત એને તુચ્છ લાગતું. એની મુશ્કેલી એ હતી કે એ બધું મગજમાં જ કરતો, અને શિક્ષકોનો આગ્રહ રહેતો કે એ વિગતવાર લખે. ગૅલ્વા માટે એ અસંભવ હતું. પરંતુ આ બધાને કારણે એના વિશે શિક્ષકો અને સાથી વિદ્યાર્થીઓમાં અજબગજબના અભિપ્રાય બનવા લાગ્યા. એક શિક્ષકે તો કહ્યું કે એને મૌલિક હોવાનો જબરો વહેમ છે. એની માતાને પણ લાગતું કે છોકરો વિચિત્ર થઈ ગયો છે.

૧૬ વર્ષની ઉંમરે ગૅલ્વા ગણિતમાં મૂળભૂત સંશોધનોમાં આગળ વધી ચૂક્યો હતો, પણ લખવાનું નામ ન મળે. એનામાં બહુ આશા રાખનાર એક શિક્ષકનો સતત આગ્રહ રહેતો કે એ કંઈ વ્યવસ્થિતપણે કામ કરે. પણ આ સલાહ ગૅલ્વાએ કદી કાને પણ ન ધરી.

નામાંકિત ગણિત શાળાની પ્રવેશ પરીક્ષામાં નાપાસ!

આ જ મિજાજ સાથે એણે ફ્રાન્સની પ્રખ્યાત ગણિત સંસ્થા પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશની પરીક્ષા આપી. ફ્રાન્સના મોટા ભાગના ગણિતશાસ્ત્રીઓની આ માતૃસંસ્થા હતી. ગૅલ્વાનો ઇંટરવ્યુ લેવાયો.અહીં પણ એણે બધું કામ મગજમાં કર્યું. એની આ પ્રતિભાને સમજે એવો કોઈ પરીક્ષક નહોતો. ગૅલ્વા નાપાસ થયો! ગૅલ્વાએ પોતે પણ કહ્યુંઃ લોકો મને સમજતા નથી, હું તો જંગલી છું!”

૧૮૨૮માં એ ૧૭ વર્ષનો હતો ત્યારે એને સમજી શકનાર એક શિક્ષક, લૂઈ-પોલ ઍમિલી રિચર્ડ મળી ગયા. એ પોતે બહુ વિદ્વાન નહોતા, પણ પોતાના વિદ્યાર્થી માટે જે કંઈ ભોગ આપવો પડે તે આપ્યો. રિચર્ડ માનતા કે એમના હાથમાં સોંપાયો છે તે વિદ્યાર્થી “ફ્રાન્સનો આબેલ” છે. ગૅલ્વા જે ગણિતના સવાલોના મૌલિક જવાબો આપતો તે રિચર્ડ ગર્વ સાથે ક્લાસમાં શીખવાડતા. એમણે જ કહ્યું કે ગૅલ્વાને ઇંટરવ્યુ વિના જ પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશ આપવો જોઈએ. રિચર્ડ ખોટા નહોતા. એ ઉંમરે ગૅલ્વા સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં જે મૌલિક પ્રદાન કરવા લાગ્યો હતો અને એને સમજવાનું કામ તે પછીની એક સદી સુધી પણ પૂરું નહોતું થયું.

કોશી!

૧૮૨૯ની પહેલી માર્ચે ગેલ્વાએ પોતાનો પહેલો અભ્યાસપત્ર પ્રકાશિત કર્યો, એ Continued Fraction વિશે હતો. પરંતુ ગેલ્વાની ખ્યાતિનું કારણ એ નથી. એણે પોતાનું સર્વશ્રેષ્ઠ કામ સાયન્સ ઍકેડેમી માટે બચાવી રાખ્યું હતું. સાયન્સ ઍકેડેમી કોઈ અભ્યાસપત્ર વિશે નિર્ણય લેતી ત્યારે એ વખતના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કોશી (Cauchy) પાસે સમીક્ષા કરાવતી. કોશીએ ગૅલ્વાનો અભ્યાસપત્ર ઍકેડેમી સમક્ષ રજુ કરવા માટે વચન આપ્યું હતું. ગૅલ્વાને બીજું શું જોઈએ?

પરંતુ આપણે ગયા મહિને આબેલની વાત કરતી વખતે કોશીને મળી ચૂક્યા છીએ. આબેલનો અભ્યાસપત્ર કોશી ઘરે વાંચવા લઈ ગયો હતો અને પછી કહી દીધું હતું કે એ અવળે હાથે મુકાઈ ગયો છે, અને મળતો નથી. ગૅલ્વાની સાથે પણ એવું જ થયું. એનો અભ્યાસપત્ર રજૂ કરવાનું કોશીને યાદ જ ન રહ્યું, એટલું જ નહીં. લેખકે લખી આપેલી પ્રસ્તાવના એણે ખોઈ નાખી!

ગૅલ્વાને માટે આ મોટો આઘાત હતો. પરિણામ એ આવ્યુંં કે ઍકેડેમીઓ અને ઍકેડેમિશિયનો માટે – અને આવા લોકોને માથે ચડાવનારા સમાજ માટે – ગૅલ્વાના મનમાં ઘૃણા પેદા થઈ ગઈ.

ડસ્ટરનો પહેલી અને છેલ્લી વાર સદુપયોગ!

૧૮ વર્ષની ઉંમરે ગૅલ્વાએ પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશ માટે ફરી પરીક્ષા આપી. ઈ. ટી. બેલ લખે છે કે જે લોકો ગૅલ્વાની પેન્સિલની અણી કાઢી આપવા લાયક નહોતા એનો ઇંટરવ્યુ લેવા બેઠા. મૌખિક ઇંટરવ્યુ વખતે એક સાહેબે એને અમુક સવાલો પૂછ્યા. ગૅલ્વાને લાગ્યું કે આ માણસ કંઈ જાણતો નથી અને સમજશે પણ નહીં. એનું લોહી ઊકળી ઊઠ્યું. આમ તો એ બધું કામ મગજમાં જ કરતો, પણ કદાચ પહેલી વાર એણે ડસ્ટરનો ઉપયોગ કર્યો. હઠે ચડેલા સાહેબના સવાલો સાંભળીને એનું માથું ફાટવા લાગ્યું, એણે ડસ્ટર ઉપાડ્યું અને સાહેબના મોઢે મારી દીધું. ગૅલ્વા ફરી વાર પોલીટેકનિકમાં પ્રવેશની પરીક્ષામાં નાપાસ થયો!

ફરી ઍકેડેમીમાં

૧૮૩૦ના ફેબ્રુઆરીમાં ગૅલ્વાએ ત્રણ સંપૂર્ણ મૌલિક પેપર તૈયાર કર્યાં. આ વખતે આ પેપર સહીસલામત સાયન્સ એકેડેમીના સેક્રેટરી સુધી પહોંચી ગયાં. ગૅલ્વાને આશા હતી કે આ વખતે એની પસંદગી થઈ જશે. સેક્રેટરી એ વાંચવા પોતાને ઘરે લઈ ગયો. ફરી નસીબ આડે આવ્યું અને સેક્રેટરીનું મૃત્યુ થઈ ગયું. તે પછી એ ત્રણ પેપરોનું શું થયું તે આજ સુધી જાણી શકાયું નથી. પહેલી વાર કોશીનો કડવો અનુભવ થયો તે પછી ફરી આવું થયું તેને માત્ર અકસ્માત માનવા ગૅલ્વા તૈયાર નહોતો. એના મનમાં ભારેલો અગ્નિ ફાટી નીકળવા થનગનતો હતો.

ગૅલ્વાનો વિદ્રોહ ભડક્યો

૧૮૩૦માં ગેલ્વા પોતાનું ગણિત શીખવાડવા કોચિંગ ક્લાસ ચલાવવાના પ્રયત્નો કરતો હતો પણ એને એક પણ વિદ્યાર્થી ન મળ્યો. એ વખતે ક્રાન્તિનું પહેલું રણશીંગું વાગ્યું તેથી ગૅલ્વાનું મન પ્રસન્ન થઈ ઊઠ્યું. એ નૅશનલ ગાર્ડ્ઝના આર્ટિલરી યુનિટમાં જોડાઈ ગયો. એના બધા રાજાવિરોધી રીપબ્લિકન મિત્રો પણ એ જ યુનિટમાં હતા. આમ એ ગણિતથી થોડો દૂર તો થઈ ગયો, પણ પૂરેપૂરો દૂર નહીં, એણે આ દિવસોમાં જ એક પેપર લખ્યું, જે આજે ‘ગૅલ્વાની થિયરી’ તરીકે ઓળખાય છે. સાયન્સ ઍકેડેમીએ આ પેપરની સમીક્ષા કરવાનું કામ પોઇસોંને સોંપ્યું. ગુરુત્વાકર્ષણ, વિદ્યુતશક્તિ અને ચુંબકત્વની ગાણિતિક થિયરીઓ પોઇસોંએ જ આપી છે. આવા મહાન ગણિતશાસ્ત્રીએ ગૅલ્વાનું પેપર જોઈને ઉડાઉ રિપોર્ટ આપી દીધો કે પેપર “સમજાય તેવું નથી”. બસ, ગૅલ્વા માટે ઊંટની પીઠે તરણા એવું થયું. એણે પોતાની હતાશા પ્રગટ કરીઃ લોકોને ઉત્તેજિત કરવા માટે લાશની જરૂર પડશે તો હું મારી લાશ દાનમાં આપીશ.”

લૂઈ ફિલિપ માટે…!”

દરમિયાન શાહી ફરમાન દ્વારા નૅશનલ ગાર્ડ્ઝનું આર્ટિલરી યુનિટ બંધ કરી દેવાયું. ૧૮૩૧ના મે મહિનાની નવમી તારીખે આના વિરોધમાં બધાએ સાથે મળીને એક ભોજન ગોઠવ્યું. સૌએ ૧૭૮૯, ૧૭૯૩ અને ૧૮૩૦ની ક્રાન્તિનાં ગુણગાન કર્યાં. ગૅલ્વા પણ એના માટે ‘ટૉસ’ બોલ્યો. હાથમાં જામ અને એણે બોલવાનું શરૂ કર્યું. એ વખતે એના ખિસ્સામાંથી એક છરો બહાર ડોકાતો હતો. ગૅલ્વાએ જામ ઊંચો કરીને કહ્યું લૂઈ ફિલિપ (રાજા) માટે!” એના સાથીઓ સમજ્યા કે એ રાજાનાં વખાણ કરે છે. એમણે સીટીઓ વગાડીને એને બેસાડી દીધો. પછી એમણે છરો જોયો તો સમજ્યા કે ગૅલ્વા તો રાજાનું ખૂન કરવાનો સંકેત આપે છે! આથી સૌ રાજી થઈ ગયા. એ જ વખતે ઍલેક્ઝાન્ડર ડૂમા જેવા લેખકો અને બીજા નામાંકિત લોકો બહારથી પસાર થતા હતા. ગૅલ્વાના મિત્રે આ જોઈને એને બેસી જવા કહ્યું, પણ ગૅલ્વા તો એટલી વારમાં હીરો બની ગયો હતો. એને લઈને બધા જાહેર રસ્તા પર આવી ગયા અને આખી રાત નાચગાન કરતા રહ્યા. બીજા દિવસે, વહેલી સવારે જ ગૅલ્વાની ધરપકડ કરી લેવામાં આવી.

કોર્ટમાં કેસ ચાલ્યો ત્યારે ગૅલ્વા ન્યાયાધીશ પ્રત્યે સંપૂર્ણ અનાદર દેખાડતો રહ્યો. શું થશે તેની પરવા વિના એણે બધી જાતના અન્યાય વિરુદ્ધ બયાન આપ્યું. આના પછી એ જ નક્કી કરવાનું હતું કે ગૅલ્વાએ જે કર્યું તે જાહેર સ્થળ હતું કે કોઈ ખાનગી. જ્યૂરી અને જજે ગૅલ્વાની યુવાનીને ધ્યાનમાં લઈને એને નિર્દોષ ઠરાવ્યો. ગૅલ્વા ઊઠ્યો, ટેબલ પર પુરાવા તરીકે એનો છરો રાખ્યો હતો તે ઉપાડ્યો, બંધ કર્યો, ખિસ્સામાં નાખીને કોઈની સામે જોયા વિના રુઆબભેર બહાર નીકળી ગયો!

અંતે જેલવાસ!

પરંતુ એની આઝાદી બહુ ન ટકી. એક જ મહિનામાં રીપબ્લિકનો ફરીથી એક મોટા આંદોલનની તૈયારી કરતા હતા. પોલીસના રેકર્ડમાં એ વખતે ગૅલ્વા એક ‘ખૂંખાર ક્રાન્તિકારી’ તરીકે નોંધાયેલો હતો. એટલે એ્ને પહેલાં જ અટકાયતમાં લઈ લેવાયો. પકડાયો ત્યારે ગૅલ્વા સંપૂર્ણ શસ્ત્રસજ્જ હતો, એ પણ ખરું; આમ છતાં એણે અટકાયત વખતે કશું જ ન કર્યું અને તરત કાબુમાં આવી ગયો. આમ એની સામે કંઈ કેસ તો બનતો નહોતો. બે મહિનાની મહેનત પછી કંઈ આરોપો ઘડી કાઢીને એને છ મહિનાની સજા કરવામાં આવી. ૧૯૩૨ના ઍપ્રિલની ૨૯મીએ એ જેલમાંથી છૂટ્યો.

મારી પાસે સમય નથી…!”

ગૅલ્વા જેલમાં જ હતો તે દરમિયાન પ્લેગ ફાટી નીકળ્યો હતો. આવા ‘ખૂખાર ક્રાન્તિકારી’ને આવી બીમારીથી બચાવવો જરૂરી હતો. એટલે એને પૅરોલ પર છોડીને હૉસ્પિટલમાં રાખવામાં આવ્યો. અહીં એની મુલાકાત કદાચ કોઈ છોકરી સાથે થઈ, જે એને પસંદ ન પડી એટલે, અથવા કોઈ બીજા રાજકીય કારણસર, એને દ્વન્દ્વ માટે પડકાર મળ્યો એણે એ સ્વીકારી લીધો.

૩૦મી મે નક્કી થઈ. સવારે ગૅલ્વાએ એકલા જ દુશ્મન સામે લડવાનું હતું જેની ગોળી પહેલાં છૂટે તે જીતે અને બીજો મરી જાય. આખી રાત ગૅલ્વા નોટબુકમાં સમીકરણો લખતો ગયો. ક્યાંય સાબીતીઓ ન આપી. કદાચ જરૂરી લાગ્યું ત્યાં પણ સાબીતીને બદલે માર્જિનમાં લખતો ગયો – “મારી પાસે સમય નથી…!”

૩૦મીની સવારે એ અને એનો હરીફ એક વેરાન જગ્યાએ પહોંચ્યા. સામસામે ગોઠવાયા. એકબીજા સામે પિસ્તોલ તાકી. ભડાકો થયો. બીજી ક્ષણે ગૅલ્વા ધૂળમાં આળોટતો હતો. શરીરમાંથી પુષ્કળ લોહી વહેવા લાગ્યું.
લગભગ નવ વાગ્યાના સુમારે એક ખેડૂત ત્યાંથી પસાર થયો.એણે ઘાયલ છોકરાને બેભાન પડેલો જોયો. એણે ગૅલ્વાને હૉસ્પિટલ પહોંચાડ્યો. ૩૧મીની સવારે એવરિસ્તે ગૅલ્વાએ ગણિતશાસ્ત્ર્રીઓ માટે અઢળક કામ છોડીને આ દુનિયામાંથી વિદાય લીધી. એ પાછળ છોડી ગયો છે માત્ર ૬૦ પાનાંની નોટબુક જેનો સંપૂર્ણ ભેદ હજી ખૂલ્યો નથી!

૦–૦–૦

ગૅલ્વા અને ગણિત

દ્વન્દ્વની આગલી રાતે ગૅલ્વાએ એની નોટબુકમાં જે કંઈ લખ્યું – અને એની સાબીતીઓ માટે “મારી પાસે સમય નથી’ એમ લખી નાખ્યું તે બધું એવું ક્રાન્તિકારી હતું કે આજે જેને ‘વિશુદ્ધ બીજગણિત’ (Pure Algebra) કહીએ છીએ તેનો જન્મ એ અધૂરી રહેલી નોટબુકમાંથી થયો. એ જ આજે ‘ગૅલ્વાની થિયરી’ તરીકે ઓળખાય છે. આપણે એના બહુ ઊંડાણમાં તો નહીં જઈ શકીએ પણ એક નજર નાખીને આ મહાન ગણિતશાસ્ત્રીને અંજલી તો આપીએ. ખરેખર તો એના ખરાબ અક્ષરો અને કાગળ પરના ચીતરામણમાંથી ગણિતમાં યુગપ્રવર્તક સાબીત થયેલાં સૂત્રો ખોળી કાઢનાર મરજીવાને પણ દાદ આપવી જોઈએ. આ છે, ગૅલ્વાની નોટબુકનું એક પાનું!clip_image003

ગૅલ્વાના મૃત્યુ પછી દસ વર્ષે, ૧૮૪૩માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જોસેફ લ્યુવિલ (Joseph Liouville)ને ગૅલ્વાના વિચારોના મહત્ત્વનો આભાસ થયો. એના પર ત્રણ વર્ષ કામ કર્યા પછી એના વિશે એમણે એક લેખ લખ્યો. તેમ છતાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ એ બરાબર સમજી ન શક્યા. તે પછી બીજાં ચોવીસ વર્ષે બીજા એક ગણિતશાસ્ત્રી કેમિલ યોર્દાં (Camille Jordan) ગેલ્વાના વિચારોને બરાબર સમજાવી શક્યા. એમણે ૧૮૭૦માં પુસ્તક લખીને ગૅલ્વા પર પ્રકાશ પાડ્યો. આમ છતાં કામ પૂરું થયું નહોતું. તે પછી બીજાં ૮૨ વર્ષે, ૧૯૪૨માં ઑસ્ટ્રિયન ગણિતશાસ્ત્રી ઍમિલ આર્ટિન (Emil Artin)ને ગૅલ્વાની થિયરીને આધુનિક રૂપ આપવાનો યશ મળે છે. ગૅલ્વાએ ક્રાન્તિનો દરવાજો ખોલ્યો, ક્રાન્તિને મૂર્ત રૂપ તો આર્ટિને જ આપ્યું,

આજે ગૅલ્વાની થિયરી, બીજગણિત અને ટોપોલોજી (સ્થળની ભૂમિતિ)માં વપરાય છે, એટલું જ નહીં, એના આજે એટલા બધા ઉપયોગ છે કે જેની કલ્પના થોડાક જ કલાક પછી જે મરવાનો હોય તે ક્યાંથી કરી શકે?

ગૅલ્વાની થિયરી

એની સામે પડકાર હતો ‘ક્વિન્ટિક’ (પંચઘાત)નો ઉકેલ શોધવાનો. આપણે આબેલ વિશેના લેખમાં જોયું કે આબેલરુફિની થિયરમ પ્રમાણે આ બહુપદીનો ઉકેલ સરવાળા, ગુણાકાર કે મૂળ (વર્ગમૂળ/ઘનમૂળ)ના માર્ગે નથી આવી શકતો; ચાર ઘાત સુધી તો એ રીતે ઉકેલ મળે છે. આબેલે તો પંચઘાતનો ઉકેલ આવે તેનો તર્ક પણ સમજાવ્યો. ગૅલ્વાએ રૅડિકલમાં (મૂળના રૂપમાં) પંચઘાતનો ઉકેલ આપ્યો! ગેલ્વાએ દેખાડ્યું કે એક બહુપદી સમીકરણનાં જુદાં જુદાં મૂળ (વર્ગમૂળ/ઘનમૂળ) વચ્ચે એક જાતનો સંબંધ છે. આપણે જેને ‘પરમ્યૂટેશન ગ્રુપ’ કહીએ છીએ તેનો ઉપયોગ કરીને એણે ક્વિન્ટિકનો ઉકેલ ‘મૂળ’માં આપી શકાય તે દેખાડ્યું.એટલું જ નહીં, એણે ચાર કે તેથી ઓછી ઘાતવાળી બહુપદીઓનો પણ એ જ રીતે ઉકેલ આવી શકે તે પણ દેખાડ્યું. તે માટે તેણે જે ગણિત વિકસાવ્યું તે ગ્રુપ થિયરી. અંકો નો અમુક સમૂહ કઈ રીતે વર્તે તેનો એમાં અભ્યાસ થાય. ખરું પૂછો તો ‘ગ્રુપ’ શબ્દનો સૌથી પહેલી વાર ઉપયોગ કર્યો ગૅલ્વાએ. એણે ગ્રુપ થિયરી અને ફીલ્ડ થિયરીને જોડી દીધી.

નવા ગણિત હેઠળ શાળામાં set theory શીખવાતી તે વાચકોને યાદ હશે. સેટને ગુજરાતીમાં ‘ગણ’ કહે છે. આમ સેટ થિયરી અંકોના અંકો સાથેના સંબંધોનું ગણિત છે.

સેટ, ગ્રુપ અને ફીલ્ડ

આપણે આગળ વધીએ તે પહેલાં સેટ, ગ્રુપ અને ફીલ્ડ શું છે તે જરા યાદ કરી લઈએ તો સમજવાનું સહેલું પડશે. આમ તો અઘરું નથી, આપણે સમાજમાં કોઈ પણ સ્તરે એ લાગુ કરી શકીએ. ધારો કે તમે કોઈ સંસ્થાના સભ્ય હો તેનું સ્વરૂપ સમજવા માટે પણ એને લાગુ કરી શકો.
સેટ એટલે એક સમૂહ. એના બધા સભ્યોના ગુણો સમાન હોય છે. દાખલા તરીકે ‘ભારત’ એક સેટ છે. એના બધા સભ્યોનો, એટલે કે આપણા સૌનો એક ગુણ સમાન છે – એટલે કે બધા ‘ભારતીય’ છીએ. આ એક સેટ થયો. હવે જે ભારતીયો મુંબઈમાં રહેતા હોય તેમનો એક સબસેટ, ‘ભારત’ સેટની અંદર જ બને. એ સબસેટના બધા સભ્યોનો એક ગુણ સમાન હોય –મુંબઈગરા!. એવો જ બીજો સબસેટ બને, ‘અમદાવાદી!

એ જ રીતે, એક સ્કૂલનો દાખલો લઈએ. એના એક વર્ગમાં ૨૫ છોકરીઓ છે. તો આ એક સેટ થયો. બીજો પણ એક સેટ લઈએ. ૨૫ ખુરશીઓ. આમ બે સેટ બન્યાઃ ૨૫ છોકરીઓનો એક સેટ, ૨૫ ખુરશીઓનો બીજો સેટ. અહીં એક સમાનતા જોવા મળશે. બન્ને સેટના સભ્યો એકબીજા સાથે કોઈ એક કાર્ય (સરવાળા કે ગુણાકાર) દ્વારા જોડાઈ શકે છે. એટલે કે એક છોકરી અને એક ખુરશી વચ્ચે સંબંધ થઈ શકે છે. આ વર્ગમાં આ બન્ને સેટો મળી જાય છે. હવે અમુક છોકરીઓ પોતાની ખુરશીઓ સાથે પાછળ ચાલી જાય, અમુક જમણી હરોળમાં આવી જાય. આવા બધા ફેરફાર થવા છતાં છોકરી અને ખુરશી વચ્ચેનો સંબંધ ૧:૧નો છે તે બદલાતો નથી.

ગ્રુપ પણ એક સેટ જ છે, જેના આંકડાની અમુક સંબંધથી વ્યાખ્યા થઈ હોય. જેમ કે કુદરતી અંકો (natural number) 0,૧,૨,૩… વગેરે, અને સરવાળો (+) મળીને એક ગ્રુપ બનાવો. સરવાળો એ એક પ્રક્રિયા (Operation) છે. તો ૧+૨ = પણ એ જ ગ્રુપનો સભ્ય હોય. જો ગ્રુપની અમુક જુદી રીતે વ્યાખ્યા થઈ હોય તો એવું પણ બને કે પ્રક્રિયા પછીનો અંક ગ્રુપનો સભ્ય ન હોય. ગૅલ્વાએ આવા ગ્રુપ બનવાના નિયમો પણ બતાવ્યા.

ઉપરની વાત સાદા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે ઘટકો એવાં હોય છે કે એ ભેગાં મળીને ત્રીજું ઘટક બનાવે. એ ગ્રુપના નિયમોનું બરાબર પાલન કરે. એ બહાર ન જાય (closure), એકબીજા પ્રત્યે સાથીભાવ રાખે (associativity), એમની ઓળખ બને (identity), અને એના પ્રતિરૂપ સાથે એ કામ કરે (invertibility). આવા બધા નિયમોને અમૂર્ત બનાવીને વ્યાપક ઉપયોગમાં લેવાય છે. ગ્રુપમાં સમ-મિતિ (Symmetry) મુખ્ય લક્ષણ હોય છે. સમ-મિતિ વિશે આબેલ વિશેના લેખમાં માહિતી આપી છે. એક ચોરસ પૂંઠાના ટુકડાને સોય પર ભેરવીને ગોળ ફેરવો. એ અટકે ત્યારે તમે કહી નહીં શકો કે જે ખૂણો ડાબા હાથની નજીક હતો તે જ પાછો મૂળ જગ્યાએ આવ્યો કે કેમ. આ સિમેટ્રી છે, બધું બધી બાજુથી સરખું.

ફીલ્ડ એટલે પણ એક સેટ. એમાં સરવાળો અને ગુણાકાર બન્ને પ્રક્રિયા થઈ શકે છે. આ પ્રકિયા એક ઘટકને સરવાળા કે ગુણાકાર દ્વારા બીજા ઘટક સાથે જોડવાની છે.

ફીલ્ડનો ઉપયોગ ટૉપોલોજીમાં બહુ થાય છે. આપણે કોઈ દૃશ્યનો ફોટો પાડીએ તો મૂળ દૃશ્ય તો ત્રિપરિમાણી હોય છે, પણ ફોટામાં દ્વિપરિમાણી જ મળે છે. કારણ કે કેમેરાના લેન્સમાંથી પસાર થતાં બધાં કિરણો એક જગ્યાએ એકત્રિત થઈ જાય છે.આવું જ આપણી આંખનું છે. આથી દૂરની વસ્તુ નાની દેખાય છે. અહીં રેલના પાટાનો ફોટો આપ્યો છે તે જુઓઃ

clip_image005

આપણે જાણીએ છીએ કે રેલના પાટા કદી મળતા નથી. પરંતુ આ ફોટો જોતાં એમ લાગે કે પાટા નજીક આવતા જાય છે અને આગળ જતાં ક્યાંક મળી જતા હશે. યૂક્લિડની ભૂમિતિ પ્રમાણે તો બે સમાંતર રેખાઓ કદી ન મળે. પરંતુ આપણી આંખ ક્ષિતિજ પર બે સમાંતર રેખાઓ મળતી હોવાનું જુએ છે! આ થઈ દૃશ્ય ભૂમિતિ (Perspective Geeometry) જે વાસ્તવિક ભૂમિતિ કરતાં જુદી છે! ગણિતશાસ્ત્રીઓ દાર્શનિકો સામે કાચા પડે એમ નથી. એમણે એનીયે ગણતરી કરીને ગણિતનો વિકાસ કર્યો છે, જે આજે આપણને રસ્તાઓ, રેલ્વે લાઇનો, પુલો બાંધવામાં કામ લાગે છે. આ ભૂમિતિ વધારે લવચીક છે કારણ કે એમાં બધાં બિંદુઓ (સેટનાં બધાં ઘટકોને) એક સ્થાને કેન્દ્રિત કરી શકાય છે. બે પાટાઓ એક થઈ શકે છે!

હવે ગૅલ્વા સામેના પડકાર પર પાછા જઈએ. એણે એક પંચઘાતી બહુપદીને ‘ફીલ્ડ’ માની! એટલે કે એણે એનાં બધાં ઘટકોને એકત્ર કરવામાં સફળતા મેળવી. આથી મૂળ રૂપે તાળો મેળવવાનું પણ શક્ય બન્યું. આ એક બહુ સાહસિક પગલું હતું અને એમાંથી ગૅલ્વાની કલ્પનાશીલ પ્રતિભા દેખાય છે.

0-0-0

%d bloggers like this: