Mathematicians – 4 – Leonhard Euler

imageલિઅનહાર્ટ આઈલર (Leonhard Eulerઆ સ્વિસ ઉચ્ચાર છે, જર્મનમાં લિયોનાર્ડ આયલર બોલાય છે). ગણિતની વિકસતી અને બદલાતી દુનિયાનું પ્રતીક છે. આપણે ન્યૂટન, લાઇબ્નીસ અને બર્નોલી પરિવારની વાત કરતાં જોયું કે એમનો મહત્ત્વનો ફાળો કૅલ્ક્યુલસમાં રહ્યો. ૧૮મી સદી આવતાં સુધીમાં હવે સંખ્યાઓમાં પણ રસ વધવા લાગ્યો હતો. આઈલર અને ડેનિયલ બર્નોલી મિત્ર હતા અને કૅલ્ક્યુલસમાં આઈલરનો ફાળો પણ મહત્ત્વનો રહ્યો છે, તેમ છતાં Number Theoryમાં પણ એ મશાલચી રહ્યા.

આઈલરને કોઈ પણ સંખ્યા જોતાંવેંત એમાં ઊંડા ઊતરવાનું ભારે આકર્ષણ હતું. આપણા રામાનુજન વિશે વિગતે વાત તો કરવી જ છે; અત્યારે એટલું જાણી લઈએ કે રામાનુજનમાં પણ સંખ્યાને વાંચવાની અજબની શક્તિ હતી. સંખ્યાનું આંતરિક ગઠન, સ્વરૂપ અને સૌંદર્ય એમને સાહજિક રીતે જ નજરે ચડી જતું હતું. આઈલર પણ એ જ કક્ષાના ગણિત શાસ્ત્રી હતા.

આઈલરનો જન્મ ૧૭૦૭માં સ્વિટ્ઝર્લૅંડના બૅસલ શહેરમાં થયો. આ શહેરમાં જ બર્નોલી પરિવારે ત્રણ મહાન ગણિતજ્ઞો આપ્યા. આઈલરનો જન્મ થયો ત્યારે જૅકબ બર્નોલીનું તો અવસાન થઈ ગયું હતું અને એમના ભાઈ જોહાન બર્નોલીએ બૅસલ યુનિવર્સિટીમાં ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે સ્થાન સંભાળી લીધું હતું; જોહાનનો પ્રતિભાવાન અને ભવિષ્યનો મહાન ગણિતશાસ્ત્રી પુત્ર ડૅનિયલ સાત વર્ષનો હતો.

લિઅનહાર્ટ આઈલરના પિતા પોલ આઈલર પોતે કુશળ ગણિતજ્ઞ હતા અને બૅસલના ચર્ચના પાદરી હતા. એમની ઇચ્છા હતી કે લિઅનહાર્ટ ચર્ચ સંભાળે. નાનો લિઅનહાર્ટ આજ્ઞાંકિત પુત્ર હતો. એને ગણિતમાં રસ હતો પરંતુ પિતાની ઇચ્છાને માન આપીને એણે થિયોલૉજી અને હિબ્રૂ શીખવાનું શરૂ કર્યું. જો કે તે સાથે ગણિતમાં પણ એ એટલો કુશળ હતો કે જોહાન બર્નોલીનું પણ એ નાના છોકરાની પ્રતિભા પર ધ્યાન ગયું. જોહાને એને અઠવડિયે એક વાર ગણિતમાં ટ્યૂશન આપવાનું સ્વીકાર્યું. લિઅનહાર્ટ ટ્યૂશનમાંથી પાછો આવીને આખું અઠવાડિયું આગળના પાઠમાં લગાડી દેતો કે જેથી ઓછા સમયમાં એને ઘણા પ્રશ્નો પૂછવા ન પડે. એની મહેનત અને ખંત તરફ જોહાનના પુત્રો ડેનિયલ અને નિકોલસનું પણ ધ્યાન ગયું અને એ પણ એના મિત્ર બની ગયા.

૧૭ વર્ષની ઉંમરે લિઅનહાર્ટ આઈલરે માસ્ટર્સ પૂરું કરી લીધું ત્યારે પિતાને થયું કે હવે બહુ થયું. એમણે દબાણ કરવા માંડ્યું કે એ ગણિતને પડતું મૂકે અને બધું ધ્યાન થિયોલૉજી પર કેન્દ્રિત કરે. આ વખતે બર્નોલી પિતાપુત્રોએ બાપને સમજાવ્યું કે એ છોકરો પાદરી બનવા પેદા નથી થયો, ગણિતમાં જ એ નામ કમાવાનો છે. પિતા માની જતાં લિઅનહાર્ટ સંપૂર્ણપણે ગણિતમય થઈ ગયો.

પહેલાં તો એણે પૅરિસ ઍકેડેમીની એક સ્પર્ધામાં ભાગ લીધો, જો કે એમાં એને ઇનામ ન મળ્યું, માત્ર એના કામની પ્રશંસા થઈ. ૧૯ વર્ષની વયે મળેલી આ નિષ્ફળતા પછી એણે પૅરિસ ઍકેડેમીનાં બાર ઇનામો જીતીને બદલો વાળી લીધો.

ટેકનિકલગણિતશાસ્ત્રી

આઈલર વિશે એમ કહેવાય છે કે એ ગણિતમાં એટલા પ્રવીણ હતા કે એમના કામમાં કોઈ ભૂલ કાઢવી એ શક્ય નહોતું. પરંતુ એ જ કારણસર એમના પર એ પણ આક્ષેપ છે કે એ  ‘ટેકનિકલ’ ગણિતશાસ્ત્રી હતો,  એનું ગણિત સાચું હોય, ભલે ને, વાસ્તવિક સ્થિતિ સાથે એનો મેળ હોય કે નહીં, દાખલા તરીકે, પૅરિસ ઍકેડેમીનો સવાલ સમુદ્રમાં જહાજ વ્યવહાર વિશે હતો. વાત એ છે કે સ્વિટ્ઝર્લૅંડ જમીનથી ઘેરાયેલો દેશ છે એટલે ત્યાં બંદર તો હોય જ નહીં, તો જહાજ ક્યાંથી હોય? ઈ. ટી. બેલ લખે છે કે આઈલરે કોઈ તળાવમાં નાની હોડીઓ જોઈ હોય તોય ઘણું, મોટા જહાજની તો વાત જ શું કરવી? પણ આઈલરને માત્ર ગણિત ખાતર આવા પ્રશ્નોમાં પણ રસ પડતો.

હવે એમણે બૅસલ યુનિવર્સિટીમાં પ્રોફેસરના પદ માટે અરજી કરી. અરજી નામંજૂર થઈ. આઈલરભાઈ તો પાછા પોતાના અભ્યાસમાં લાગી ગયા, પણ એમના મિત્ર બર્નોલી ભાઈઓ, ડેનિયલ અને નિકોલસ, એ વખતે રશિયાની ઝરીના કૅથેરાઇનના આમંત્રણથી સેંટ પીટર્સબર્ગમાં કામ કરતા હતા. એમને પોતાના મિત્રની યાદ આવી અને એમણે ખાસ મહેનત કરીને આઈલરને રશિયા બોલાવી લીધા. એ વખતે સેંટ પીટર્સબર્ગ ઍકેડેમીમાં માત્ર મૅડિકલ વિભાગમાં જગ્યા હતી તેમાં આઈલરને જૂનિયર પદ પર ગોઠવી દીધા.

ગણિતના વિભાગમાં તો જગ્યા ખાલી નહોતી. નિકોલસ બર્નોલી ગણિત વિભાગમાં પ્રોફેસર હતો અને ડેનિયલ પણ ફિઝિયોલોજી વિભાગમાં હતો. બન્ને ભાઈ રશિયા પહોંચ્યા તેના એક જ વર્ષમાં નિકોલસનું કોઈ તાવમાં મૃત્યુ થઈ ગયું અને ડેનિયલને ગણિત વિભાગમાં પ્રમોશન મળી ગયું. આથી એણે ફિઝિયોલોજી વિભાગની પોતાની જગ્યા આઈલરને અપાવી દીધી.

સંગીત અને ગણિત

પરંતુ ગણિત કેમ છૂટે? આઈલરે મૅડિકલ વિભાગમાં લેક્ચરો સાંભળ્યાં તેમાં કાન વિશેના એક લેક્ચર પરથી એમને ધ્વનિ તરંગોનો વિચાર આવ્યો અને એ્મણે ધ્વનિ તરંગો પર કામ શરૂ કરી દીધું! આઈલરને સંગીત બહુ પસંદ હતું, પરંતુ કોઈ વાદ્યમાંથી ધ્વનિ કેમ પ્રગટે છે અને જુદા જુદા સૂરો કેમ બને છે તે એમણે શોધી કાઢ્યું. એમનો સંગીત વિશેનો નિબંધ De Sono ૧૭૩૯માં પ્રકાશિત થયો ત્યારે એ તરત તો લોકપ્રિય ન બન્યો કારણ કે એમાં સંગીતપ્રેમીઓ માટે ગણિત વધારે હતું અને ગણિતના ચાહકો માટે સંગીત વધારે હતું!

નિબંધમાં આઈલર કહે છે કે જૂના ફિલોસોફરોએ ધ્વનિને જે રીતે સમજાવ્યો છે તે બહુ સ્પષ્ટ નથી. એપિક્યૂરસ (ઈ. પૂ. ૩૪૧-૨૭૦)નો ખ્યાલ હતો કે ધ્વનિ નદીના પ્રવાહની જેમ એક ધબકતા વાદ્યમાંથી પ્રગટે છે. બીજી બાજુ એરિસ્ટોટલ (ઈ. પૂ. ૩૮૪-૩૨૨) એમ માનતો કે બે કણો કે પિંડો વચ્ચે ટક્કર થતાં ધ્વનિ પેદા થાય છે. ન્યૂટન એ બધાથી વધારે સ્પષ્ટતાથી ધ્વનિ કેમ એક છેડેથી બીજે છેડે પહોંચે છે તે સમજાવી શક્યા. આમ છતાં ધ્વનિના વહનની જટિલતા હજી પૂરેપૂરી સમજવાનો આઈલરે પ્રયાસ કર્યો.

આઈલરે ધ્વનિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી નાખ્યોઃ

image

 

 

સિતાર, સરોદ જેવાં તંતુવાદ્યોમાંથી પ્રગટતો ધ્વનિ,

image

 

 

આંધી, વીજળીના તોફાન કે વિમાનના ગડગડાટનો ધ્વનિ,  

અને ફૂંકથી વાગતાં વાદ્યો (બંસરી, મોરલી, શરણાઈ)નો ધ્વનિ.

imageimage

(ઉપર પ્રથમ તસવીર ૪૩,૦૦૦ વર્ષ જૂની વાંસળીઓની છે. બીજી તસવીર જાણીતા કલાકાર શ્રી-ચિન્મયની છે. ચારેય તસવીરો ઇંટરનેટ પરથી અવ્યાવસાયિક હેતુ માટે લીધી છે).

અવાજનું પ્રસરણ સમજવા માટે એમણે કલ્પના કરી કે વાતાવરણ હવાના નાના નાના ગોળાઓનું બનેલું છે. આ ગોળા વાતાવરણના વજનથી દબાયેલા હોય છે. પરંતુ સંકુચનનું બળ લવચિક હોય છે. એટલે સંકુચન અને વિસ્તરણથી અવાજ આગળ જઈ શકે. પ્રયોગો દ્વારા વાતાવરણના દબાણમાં ફેરફાર કરીને એનું માપ લઈ શકાય છે. આઈલરે ગણ્યું કે વાતાવરણનું વજન એક નળીમાં ૨૪૬૦ સ્ક્રૂપલ્સ ( એટલે કે લગભગ ૭૭૨ મિલીમીટર ) જેટલી ઊંચાઈ સુધી પારો ભરો અને તેનું જેટલું વજન થાય તેટલું હોય છે. અને તેમાં થતા ફેરફારને કારણે અવાજ આગળ જાય છે. એમણે કરેલ આ પાયાના કામ પછી તેમાં બીજા સુધારા થઈને આજની સમજણ આવી છે. એમ તો એમણે અવાજના ત્રણ પ્રકાર ગણાવ્યા, જેવા કે, આંધીનો અવાજ વગેરે, જે આજે પ્રચલિત વિચાર નથી. આંધી-તોફાન વખતે લવચિક દબાણમાં એકદમ મોટો ફેરફાર થાય છે; આથી મોટા ભયજનક ધ્વનિઓ પેદા થાય છે. આ બધા ધ્વનિઓનાં એમણે ગાણિતિક સમીકરણો આપ્યાં. આથી એક ધ્વનિ પછી બીજો જુદો ધ્વનિ પેદા કરવા માટે બે તાર વચ્ચે કે વાંસળીના બે છેદ વચ્ચે કેટલું અંતર હોવું જોઈએ તેનું શાસ્ત્રીય જ્ઞાન પ્રાપ્ત થયું.

નંબર થિયરી

આપણે શરૂઆતમાં જ જોયું કે આઈલરને સંખ્યાનું મોટું આકર્ષણ હતું. સંખ્યાઓમાં રસ લેતા વિદ્વાનો એક સંખ્યાના બંધારણનો અભ્યાસ કરતા હોય છે અને એ દરમિયાન પોતાની વિશેષ સર્જક શક્તિ દ્વારા અનુમાનો કરીને એક સંખ્યાને જુદા જુદા રૂપે રજૂ કરતા હોય છે. આ વિદ્વાનોને Algorist કહે છે. આપણા રામાનુજન પણ અલ્ગોરિસ્ટ હતા. સંખ્યાને જોતાં જ એનું વિશ્લેષણ કરવા માટે એમનું મન સળવળતું અને એમાંથી એ એવાં પરિણામો આપતા કે સામો માણસ ચકિત રહી જાય.આમાં એમની કલ્પનાશક્તિ પણ કામે લાગતી અને એમાંથી નવા નિયમ  (Algorithms) બની જતા. કોઈ કવિએ અમુક શા માટે લખ્યું એમ પૂછવાનું અર્થ વગરનું છે, તે જ રીતે અલ્ગોરિસ્ટને પણ એ પૂછવાનું અર્થ વગરનું છે કે એણે પરિણામ લાવવા માટે અમુક ફેરફાર શા માટે કર્યા. એ એના માટે સ્વાભાવિક હોય છે, એના કોઈ બંધાયેલા નિયમ નથી હોતા.

આઈલર આવી સમસ્યાઓ શોધતા. ખાસ કરીને પ્રાઇમ સંખ્યાઓમાં એમને રસ હતો. વર્ષો સુધી એમણે આ વિષયમાં કામ કર્યું, જો કે એમનાં આ સંશોધનો તો છેક ૧૮૪૯માં પ્રકાશિત થયાં. નંબર થિયરીના દાખલા આપણે આજે UPSC અને IIT, IISc, TIFR  અને બીજી ઉચ્ચ વિદ્યાસંસ્થાઓની ‘ક્વૉલિફાઇંગ’ પરીક્ષાઓમાં જોઈ શકીએ છીએ, જેમાં ગણિતના કોયડા જેવા સવાલો હોય છે. આના માટે પ્રોજેક્ટ આઈલરની એક વેબસાઇટ https://projecteuler.net/ ની મુલાકાત લેવા જેવી છે. એમાં ઉપર જમણી બાજુએ  Archives અને Recent વિભાગ આપેલા છે. બન્ને વિભાગમાં ગણિતનો ઉપયોગ કરવો પડે અને મગજ કસવું પડે એવા સવાલો છે. એમાંથી Recent વિભાગનો ૫૬૯મો સવાલ અહીં નમૂના રૂપે આપ્યો છે, મગજ કસવું હોય તો તૈયાર થઈ જાઓ!

એક ડૂંગરમાળામાં દરેક ડૂંગરનો ઢોળાવ એકસરખો જ 45° છે, અને દરેકની ઊંચાઈ પ્રાઇમ સંખ્યા pn છે. ડૂંગરોના ક્રમમાં k મા ડૂંગરના ઉપર ચડતા ઢોળાવની ઊંચાઈ p2k−1 છે અને નીચે તરફ જતો ઢોળાવ p2k છે. આ ડૂંગરમાળાની તળેટી પાસેથી શરૂ થતા ડૂંગરો નીચે દેખાડ્યા છે.

imageહવે, મહાન પર્વતારોહી તેન્ઝિંગ સૌથી નીચા ડૂંગરથી શરૂ કરીને એક પછી એક દરેક પર ચડે છે. દરેક ડૂંગરની ટોચ પર પહોંચીને એ પાછું વાળીને જૂએ છે કે એને પહેલાંના કેટલા ડૂંગરની ટોચ દેખાય છે. ઉપર એની દૃષ્ટિરેખા લાલ રંગમાં આપેલી છે જે ત્રીજા ડૂંગરથી શરૂ થાય છે.આ ડૂંગર પરથી તેન્ઝિંગને માત્ર બીજા ડૂંગરની ટોચ દેખાય છે (પહેલો ડૂંગર દૃષ્ટિરેખાની નીચે આવી જાય છે). એ જ રીતે, એ નવમા ડૂંગર પરથી ત્રણ ડૂંગરો પાંચમા, સાતમા અને આઠમાની ટોચ જોઈ શકે છે.

ધારો કે kમા ડૂંગર પર પહોંચ્યા પછી એને દેખાતી ટોચોની સંખ્યા P(kછે તો એનો અર્થ એ કે P(3)=1(ત્રીજા ડૂંગર પરથી દેખાતી ટોચ) અને P(9)=3 (નવમા ડૂંગર પરથી દેખાતી ટોચો).

અને તે ઉપરાંત k=1100P(k)=227k=1100P(k)=227 છે. ( આ પ્રતીકને સિગ્મા કહે છે એ ૧થી k સુધીનાં બધાં પદોનો સરવાળો સૂચવે છે).

તો k=12500000P(k)k=12500000P(k) શોધો.

આઈલરે નક્શા બનાવવામાં અને નૌકા માર્ગો નક્કી કરવામાં પણ આજે પણ કામ આવે તેવું પ્રદાન કર્યું છે.

પાછલું જીવન

સેંટ પીટર્સબર્ગમાં જીવનનાં મહત્ત્વનાં વર્ષો ગાળ્યા પછી પ્રશિયાના રાજવી ફ્રેડરિકે એમને પાછા ફરવા આમંત્રણ આપ્યું. આ વખતે આઈલરની એક આંખની જ્યોતિ બુઝાઈ ગઈ હતી. ફ્રેડરિકને ગણિતમાં તો ખાસ સૂઝ નહોતી પડતી પરંતુ એ આઈલરને પોતાના દરબારમાં રાખવા માગતો હતો.

આઈલર સ્વભાવે બહુ સૌમ્ય હતા અને ઘમંડનું નામ નહોતું. એટલે એમના કોઈ વિદ્યાર્થીએ કંઈ નવું કર્યું હોય તો આઈલર એને વિના સંકોચે યશ આપતા. એક શિષ્યે એમની સમક્ષ એક રીત રજૂ કરી તે આઈલરની પોતાની રીત કરતાં પણ ચડિયાતી હતી. આઈલરે એના પર કામ કરીને વિકાસ કર્યો, પણ જ્યાં સુધી શિષ્યનું કામ પ્રકાશિત ન થયું ત્યાં સુધી એમણે પણ પોતાનું કામ પ્રકાશિત ન કર્યું.

imageફ્રેડરિકના દરબારમાં જાણીતો ચિંતક વૉલ્ટેયર પણ હતો. ફ્રેડરિકને શું ગમે તેની વૉલ્ટેયરને બરાબર સમજ પડતી હતી. આઈલર ધાર્મિક વિચારોવાળા ચિંતક હતા, પણ વૉલ્ટેયરની સરખામણીએ એમને ન મુકાય. આમ છતાં આઈલર ફિલોસોફીની ચર્ચાઓમાં પણ ભાગ લેતા અને વૉલ્ટેયર એમની ફિલોસોફીનાં ચીંથરાં ઉડાડતો. બધા આઈલર પર હસતા. આઈલરને પોતાની ભૂલ સમજાતી ત્યારે એ પણ હસવામાં ભળી જતા. ફ્રેડરિક ઇચ્છતો હતો કે આઈલર એનો વિષય ન હોય તેમાં ન બોલે. આંખની લાચારીને કારણે પણ આઈલરની રીતભાત સામાન્ય નહોતી રહી. આમ ફ્રેડરિકનો અણગમો વધી ગયો હતો.

એણે અંતે આઈલરને હટાવીને બીજા એવા જ જાણીતા ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી અને આઈલરથી નાના ઝ્યાં લે’ રોં ડલ-અન-બેર (Jean le Rond d’Alembert)ને એમના સ્થાને ગણિતના પ્રોફેસર તરીકે સ્થાન આપવાનું નક્કી કર્યું ડલ-અન-બેર જ્યારે આ માટે ફ્રેડરિકને મળ્યા ત્યારે એમને ખબર પડી કે આઈલરને હટાવીને એમને આ સ્થાન અપાય છે. એમણે ફ્રેડરિકને મોઢામોઢ જ કહી દીધું કે આઈલરનું સ્થાન લઈ શકે એવો કોઈ ગણિતશાસ્ત્રી નથી! એમણે આ પદ ઠુકરાવી દીધું.

તે પછી આઈલરનું મન ઊઠી ગયું હતું. એમણે રશિયાની ઝરીના કૅથેરાઇનને ફરી લખ્યું. રાણી તો તૈયાર જ હતી એટલે એણે આઈલરને સન્માન પૂર્વક પાછા બોલાવ્યા. એ ફરી સેંટ પીટરસબર્ગ ઍકેડેમીમાં જોડાયા અને મૃત્યુપર્યંત ત્યાં જ રહ્યા. અહીં એમની બીજી આંખ પણ ગઈ, પત્નીનું મૃત્યુ થયું. સંતાનો પુખ્ત વયે પહોંચ્યાં હતાં પરંતુ અંગત જરૂરિયાતને જોઈને એ્મણે પોતાની પત્નીની એક ઓરમાન બહેન સાથે ફરી લગ્ન કર્યાં એ હજી જુવાન હતી અને આઈલર વૃદ્ધ થઈ ગયા હતા, પરંતુ બન્નેનું જીવન સારું રહ્યું.

અંતિમ દિવસોમાં એમનું ધ્યાન ધર્મ તરફ વળી ગયું હતું.આમ છતાં આ પ્રજ્ઞાચક્ષુ ગણિતશાસ્ત્રીએ ગણિત ન છોડ્યું. એમના વિચારો સમીકરણ બનીને કોઈ બીજાના હાથે વહેતા જ રહ્યા. ૧૭૮૩ની ૧૮મી સપ્ટેમ્બરે બપોરે એમણે બલૂનના આકાશમાં જવાના નિયમો માટે પોતાની સ્લેટમાં ગણતરીઓ કરી. રાતે બીજા એવા જ પ્રખર ગણિત શાસ્ત્રી અને ખગોળ વિજ્ઞાની ઍન્ડર્સ જોહાન લેક્સેલ[i] સાથે ભોજન લીધું. પછી બે ઘડી મન બહેલાવવા પોતાના પૌત્રને બોલાવ્યો. એની સાથે રમતાં એમને સ્ટ્રોક આવ્યો, એ્મના મોઢામાંથી પાઇપ પડી ગઈ અને એ એટલું જ બોલી શક્યાઃ “હું જાઉં છું”. બસ, કોન્ડોર્સેના શબ્દોમાં કહેતાં આઈલરે જીવવાનું અને આંકડાઓ પાડવાનું રોકી દીધું!

રશિયા અને પ્રશિયા એમને ભૂલ્યાં નહીં અને એ્મના માનમાં ટપાલ ટિકિટો અને ચલણી નોટો પણ બહાર પાડી છે. પહેલી ટિકિટ ભૂતપૂર્વ જર્મન લોકશાહી પ્રજાસત્તાક (સામ્યવાદી પ્રભાવ હેઠળના પૂર્વ જર્મની)ની છે. બીજી તસવીર રશિયાએ આઈલરના ૨૫૦મા જન્મદિને ૧૯૫૭માં બહાર પાડેલી ટપાલ ટિકિટની છે.ત્રીજી તસવીર સ્વિસ ફ્રૅન્કની છે.

imageimageimage


[i] *(લેક્સેલે ધૂમકેતુ અને ગ્રહોની ગતિનો અભ્યાસ કર્યો હતો અને ચાર્લ્સ મેસિયેએ સૌ પહેલાં જોયેલા ધૂમકેતુ D/1770 L1ની ગતિનો લેક્સેલે અભ્યાસ કર્યો એટલે એ ધૂમકેતુ Lexell’Comet  તરીકે પણ ઓળખાય છે. ૧૭૭૦માં એ પૃથ્વીની નજીક આવી ગયો હતો અને તે પછી ક્યાંક ગુમ થઈ ગયો છે. ચંદ્ર પરની એક ખાઈને પણ લેક્સેલનું નામ અપાયું છે તેમ જ એક ઉલ્કાનું નામ પણ 2004 Lexell છે).

Advertisements

2 thoughts on “Mathematicians – 4 – Leonhard Euler

  1. ખૂબ જ પ્રશંસનીય લેખ. ચીવટપૂર્વકના અભ્યાસ પછી લખાયેલ લેખ ખરેખર પ્રેરક પણ છે, અને કાબિલે-તારીફ પણ. આઇલરના જીવન વિષે અને તેનાં કાર્ય વિષે સરસ માહિતી. …. અભિનંદન, દીપક ભાઈ!
    આવા અભ્યાસપૂર્ણ લેખ જવલ્લે જ જોવા મળતા હોય છે. આવા લેખોથી ગુજરાતી બ્લૉગિંગ સમૃદ્ધ બને છે. કોઈ પુસ્તકમાંથી કૉપી કરી લખી દેવું સરળ છે કે બીજા બ્લૉગ પરથી કે વેબ સાઇટ પરથી લખી નાખવું સામાન્ય છે; હા, ક્યારેક તે પણ ઉપકારક પ્રવૃત્તિ બની શકે. પણ વિશ્વભરના બ્લૉગર મિત્રોએ કૉપી-રી કૉપી કરી કરીને જંક વધારવા કરતાં પોતાના શબ્દોમાં તે જ કન્ટેન્ટ નવી દ્રષ્ટિથી અથવા સુધારા સાથે રોચક કન્ટેન્ટ મૂકતા રહેવું જોઈએ.
    મેં ગુજરાતના અંતરિયાળ ગ્રામ્ય વિસ્તારના શિક્ષકો અને વિદ્યાર્થીઓ સાથે અલપ-ઝલપ કરી છે. ગુજરાતી શાળાઓના ગુજરાતી વાતાવરણમાં તેમને વિશ્વની ઝાંખી ક્યાંથી થાય? તેમની મૂંઝવણ આપણે સમજીશું?
    તેમને લિયોનાર્ડો દ વિંચી, શેક્સપિયર કે રોમાં રોલાં, મોને કે રેનોર, મોઝાર્ટ કે બિથોવન, આઇલર કે બર્નોલી કે ફર્મી, કાપ્રા કે જોહન ફૉર્ડ કે સેસિલ બી ડેમિલી, ટેન કમાન્ડમેન્ટ્સ કે સાઉંડ ઑફ મ્યુઝિક અને બીજી હજારો નાની-મોટી જાણકારીઓ ક્યાંથી મળશે?
    ગુજરાતી બ્લૉગર્સના સભાન પ્રયત્નોથી ગુજરાતી બ્લૉગ જગત પર કન્ટેન્ટનું સ્તર સતત સુધરી રહ્યું છે. સરસ! પણ હજી ઘણો અવકાશ છે. નવોદિત ગુજરાતી બ્લૉગર્સ મિત્રોને આ ચેલેંજ ઉપાડવા કહું છું.
    દીપકભાઈ! ફરી અભિનંદન. આપના મનનીય લેખો સૌ માટે પ્રેરણાદાયી બનો તે પ્રાર્થના!

પ્રતિસાદ આપો

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / બદલો )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / બદલો )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / બદલો )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / બદલો )

Connecting to %s