‘પાઇ’ની પેદાશ !

clip_image002૧૪મી માર્ચ ગણિતના રસિયાઓ માટે ખાસ દિવસ છે. માર્ચ ૧૪, ૧૮૭૯ આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇનનો જન્મ દિવસ છે. એટલે દુનિયામાં આજનો દિવસ ‘પાઇ દિન’ તરીકે ઊજવાય છે.

અમેરિકાવાસી મિત્ર દિલીપ વ્યાસનું સૂચન હતું કે આ વિષય પર લેખ લખવો જોઈએ. તે પછી આ લેખનું પ્રાથમિક સ્વરૂપ તો તૈયાર કર્યું; પણ ગણિતમાં વારસાગત ઠોઠ હોવાથી, ગણિતશાસ્ત્રમાં અનુસ્નાતક અને શિક્ષક સુસ્મિતા વૈષ્ણવની મદદ લીધી. ભાભા પરમાણુ સંશોધન કેન્દ્ર BARC)ના નિવૃત્ત વૈજ્ઞાનિક ડૉ. પરેશ વૈદ્યનાં સૂચનો પણ મળ્યાં. મારા વેબગુર્ગુજરીના સાથી અશોક વૈષ્ણવ પણ સુધારાવધારા (ખાસ તો ‘વધારા’) કરવામાં જોડાયા. આજે ‘મારી બારી’ ખરેખર ‘સૌની બારી’ બની છે.

આગળ વાંચો, ગણિતમાં રસ હોય કે ન હોય, આ લેખમાં બહુ મઝા આવશે અને ઘણું જાણવા મળશે.

૦-૦-૦

આમ તો. ‘પાઇ’(π) એટલે વર્તુળના પરિઘ કે પરિધિ અથવા ઘેરાવાના માપ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર. ઘેરાવો ભાગ્યા વ્યાસ. π એ ગ્રીક બારાખડીનો ૧૬મો અક્ષર છે, જે અંગ્રેજી બારાખડીના P (Perimeter)ની સમકક્ષ છે.

clip_image003

તમે ગમે તેટલું મોટું વર્તુળ બનાવો, આ મૂલ્ય બદલાતું નથી. ‘પાઇ’ પર વર્તુળની સાઇઝની કશી અસર પડતી નથી. એ તમારી નોટબુકમાં બનાવ્યું હોય કે આખું ક્રિકેટનું મેદાન સમાઈ જાય એવડું હોય. ઘેરાવા અને વ્યાસનો ગુણોત્તર એ જ રહેવાનો. એનું મૂલ્ય આશરે ૩.૧૪ છે. હવે સમજાશે કે માર્ચ મહિનો એટલે ત્રીજો મહિનો. આમ આપણે અમેરિકન પદ્ધતિથી મહિનો અને તારીખ લખીએ તો ૩/૧૪ લખાય જે પાઇ’નું મૂલ્ય છે! ગણિતમાં ‘પાઇ’ શબ્દનું ચિહ્ન આવું હોય છેઃ π.

clip_image005

૨૦૧૫ના વર્ષની ખૂબી એ છે કે ધારો કે આપણે મહિનો અને તારીખ (૩.૧૪) લખ્યા પછી વર્ષનો આંકડો (૧૫) પણ લખવા માગીએ છીએ. તો હવે લખાશે ૩/૧૪/૧૫. મઝાની વાત એ છે કે પાઇનું ચાર દશાંશ સ્થાનો સુધીનું મૂલ્ય પણ ૩.૧૪૧૫ છે! તેમાં પણ ૧૪મી માર્ચે સવારે ૯ વાગીને ૨૬ મિનિટ અને ૫૩ સેકંડનું પણ મહત્ત્વ છે. આપણે આમ લખીએ – ૩/૧૪/૧૫ ૯:૨૬: ૫3. હવે જોવાનું એ છે કે પાઇના મૂલ્યની ખોજમાં આપણે દશાંશચિહ્ન પછીનાં ૧૦ સ્થાનો સુધી જઈશું તો આ આંકડા જોવા મળશેઃ ૩.૧૪૧૫૯૨૬૫૩ ! હજી આગળ વધીએ અને એમાં સેકંડના પણ ૬૦ ભાગ કરીએ. જ્યારે સેકંડના ૫૮મા ભાગ સુધી પહોંચશું ત્યારે પાઇના મૂલ્યના જ બે આંકડા ઉમેરાશે અને નવી સંખ્યા બનશે ૩.૧૪૧૫૯૨૬૫૩૫૮ !

clip_image007

આ દિવસની ઊજવણીના ભાગ રૂપે દર વર્ષે માર્ચ મહિનાની ૧૪મી તારીખે ૯.૨૬.૫૩ વાગ્યે MIT (Massachusetts Institute of Technology)માં પ્રવેશની પ્રક્રિયા શરૂ કરવામાં આવે છે. આ વર્ષ માટે તેઓએ આ વીડિયો ક્લિપ બનાવી છે–

http://mitadmissions.org/blogs/entry/keep-your-eyes-to-the-skies

Keep your eyes to the skies this Pi Day એટલે કે તમારી મહેચ્છાઓનું લક્ષ્ય છે, આકાશ !

πનું એવું છે કે એમાં દશાંશચિહ્ન પછી આંકડાઓ ઉમેરતા જશો તો પણ એ રકમ નિઃશેષ નથી બનવાની. આથી દશાંશ ચિહ્ન પછી કેટલા આંકડા ઉમેરી શકાય છે તે શોધવામાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને બહુ રસ પડે છે, કારણ કે એ મનનો વ્યાયામ છે. આમ અત્યાર સુધી દશાંશચિહ્ન પછી તેર હજાર અબજ આંકડા ઉમેરાઈ ગયા છે, પણ હજી શેષ વધે જ છે અને આંકડા-યાત્રા ચાલુ રહે છે. બીજી વાત એ છે કે આંકડાઓની આખી વણઝારમાં એક વાર પણ એકસરખા આંકડાની શ્રેણી નથી આવતી.

clip_image008

ભૂમિતિમાં ખૂણાના માપ માટે અંશ સિવાય બીજો એકમ રેડિયન વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કોઇ પણ r ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર તમે r જેટલી લંબાઈની જ ચાપ લો તો એ ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર પાસે જે ખૂણો બનાવે તેનું માપ ૧ રેડિયન કહેવાય. વર્તુળનો પરિઘ 2πr છે, તેથી પરિઘ પર આવી લંબાઈની 2π જેટલી ચાપ મળે. આમ એક પૂર્ણ વર્તુળ ફરતાં કુલ ખૂણાનું માપ 2πરેડિયન =૩૬૦0 થાય, જે આપણને અંશ અને રેડિયન એમ બે માપ વચ્ચેનો સંબંધ પ્રસ્થાપિત કરી આપે છે. (૧ રેડિયન = ૫૭.૨૯૬ ડિગ્રી).

clip_image010

πનું એક બીજું પણ મહત્ત્વ છે. ભૂમિતિમાં ૩૬૦ ને ૨π તરીકે દર્શાવાય છે. આમ અહીં બતાવેલ ઘડિયાળ જોઇશું તો ઘડિયાળનો કાંટો પૂરું વર્તુળ ફરી જાય ત્યારે તેણે ૩૬૦નો ખૂણો (૨π) બનાવ્યો કહેવાય. ઘડિયાળમાં બતાવેલો દરેક આંકડો કાંટાના ભ્રમણ દરમ્યાન ખૂણાના માપમાં ૩૦(૩૬૦ ÷ ૧૨) એટલે કે π/૬ (૨ π ÷ ૧૨)નો ક્રમશઃ વધારો બતાવે છે.

ગણિતશાસ્ત્રમાં પાઇને અસંમેય સંખ્યા(Irrational number) માનવામાં આવે છે કારણ કે બે પૂર્ણાંકો (Integers)નો ચોક્સાઈપૂર્વક ગુણોત્તર એના દ્વારા મળતો નથી. આપણે ચોક્કસ ગુણોત્તરની નજીક જઈ શકીએ પણ એના પર પહોંચી ન શકીએ. આને કારણે અનંત શ્રેણી બનતી હોય છે.

clip_image012ભારતમાં કેરળમાં પ્રાચીન કાળથી જ ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રના અભ્યાસની એક પરંપરા રહી. ચૌદમી સદીના અંતમાં કેરળમાં માધવ નામના ગણિતજ્ઞ થઈ ગયા. એમણે અનંત શ્રેણીઓ વિશે કામ કર્યું. એમણે લખેલા એક પુસ્તકમાં પાઇનું લગભગ સચોટ મૂલ્ય દર્શાવ્યું હોવાનું જણાય છે. પરંતુ આપણે ત્યાં ઇતિહાસ તરફ એવી બેદરકારી સેવાતી રહી છે કે એ પુસ્તક એમનું જ છે કે કેમ, અથવા શુદ્ધ રૂપે રહ્યું છે કે કેમ તે પણ નક્કી થઈ શકતું નથી. જો કે માધવને આંતરરાષ્ટ્રીય માન્યતા મળી છે. એમની એક અનંત શ્રેણી આજે ‘માધવ-લાઇબનિત્સ’ શ્રેણી તરીકે ઓળખાય છે. બીજી બાજુ, એટલું તો નક્કી થઈ શક્યું છે કે બેબિલોનમાં પાઇ વિશે માહિતી હતી અને ઈજિપ્તમાં પણ હતી. ત્યાંના રાજવી ‘ફેરાઓ’નાં સિંહાસનોમાં પુરાતત્ત્વશાસ્ત્રીઓને અમુક ગાણિતિક પૅટર્ન જોવા મળી છે.

πની ખૂબીઓથી (કદાચ)આકર્ષાઇને કેનેડીયન લેખક યાન માર્ટેલે (Yann Martel) ૨૦૦૧માં લખેલી પોતાની નવલકથાLife of Piના નાયકનું નામ પાઇસાયન મૉલિટૉર ‘પાઇ‘ પટેલ (Piscine Molitor ″Pi″ Patel) રાખ્યું. આ વાર્તામાં નાયક,પુદુચ્ચરિ (જૂનું નામ પોંડીચેરી)નો ‘પાઇ‘ પટેલ, દરિયામાં જીવતાં પ્રાણીઓ સાથે ૨૨૭ દિવસ એક નાવમાં ગાળે છે. ૨૦૧૨માં નિર્દેશક ઍંગ લી (Ang Lee)એ આ નવલથા પરથી Life of Pi નામની જ ફિલ્મ પણ બનાવી છે.

તો ભાઈ, પાઇની કિંમત આપણા માટે પાઈ જેટલી પણ ન હોય, દુનિયા તો ૧૪મી તારીખની આતુરતાથી રાહ જોતી હોય છે !

વેબગુર્જરી પરઃ

http://webgurjari.in/2015/03/14/maari-baari-36-rationality-of-irrational-pi/


આ વિષય વિષે કેટલીક રસપ્રદ વેબસાઇટ્સ

http://www.joyofpi.com/

http://teachpi.org/

http://en.wikipedia.org/wiki/A_History_of_Pi

http://mathstory.com/Poems/pi2limericks.aspx#.VQM4jXyUeTo

 


સંપાદકીય નોંધ : અહીં ઉપયોગમાં લેવાયેલ આકૃતિઓ નેટ પરથી લેખના સંદર્ભ અનુસાર લીધેલ છે. તેના પ્રકાશાનાધિકાર તેના મૂળ કર્તાના જ રહે છે.

4 thoughts on “‘પાઇ’ની પેદાશ !

  1. Biren Kothari

    ભણવામાં આ આવતું ત્યારે મહાત્રાસ થતો. આજે આ વાંચવાની મહામજા આવી.

  2. Subodh Shah ---

    Nice article. Please keep writing like this.
    We Indians may be good at Math, but our common people need to know more of current science and math.
    Inventing a zero and then going to sleep for hundreds of years can keep us Indians at zero level in the modern world of science.
    —Subodh Shah — USA.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s